利用导函数研究函数的隐零点问题（学生版+解析版）.docx
利用导函数研究函数的隐零点问题一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数/(无)，导函数方程/'(X)=O的根存在，却无法求出，设方程T(X)=O的根为%,则有:关系式/'(%)=0成立；注意确定/的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数/(x,),其中。为参数，导函数方程/'(x,)=0的根存在，却无法求出，设方程。)=0的根为则有有关系式f(x°)=O成立，该关系式给出了玉),。的关系；注意确定方的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理：设函数力在闭区间凡可上连续，且/()/S)VO,那么在开区间(。/)内至少有函数/(x)的一个零点，即至少有一点(4),使得“o)=O若/(4)(0)<0,则/(x)的零点不一定只有一个,可以有多个若a)“。)。，那么在W,可不一定有零点若/(冗)在。，可有零点，则/()(b)不一定必须异号(3)若/(x)在句上是单调函数且连续，则/3)<0=(x)在(,b)的零点唯一.二、典型例题例题1.已知函数/(x)=e'+22.(1)求的单调区间和极值；(2)若存在实数X,使得/(x)Y+2x-3+2m成立，求整数加的最小值.例题2.已知函数f(x)=nr+，一x+l-(wR)(1)若=-2,求函数/(x)的单调区间；(2)若存在x>l,使/()+x<y成立，求整数。的最小值.题型练习1 .设函数/(x)=Inx,g(x)=r+3(aR).X求函数奴x)=(x)+g(x)的单调增区间；(2)当。=1时，记版x)=(x)g(x),是否存在整数4,使得关于X的不等式24加X)有解？若存在，请求出4的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln20.6931,ln31.0986)2 .设函数/(力=d-奴-2,其导函数为广(x).(1)求函数/(x)=F-Or-2的单调区间；(2)若=l,k为整数，且当x>0时，(X-女)'(x)+x+l>O,求攵的最大值.3 .己知函数/(X)=吧上,eR.若x=l是/(x)的极值点，求外当WT时，证明：/(x)<e-2-l.利用导函数研究函数的隐零点问题一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数/(无)，导函数方程/'(X)=O的根存在，却无法求出，设方程T(X)=O的根为%,则有:关系式/'(%)=0成立；注意确定/的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数/(x,),其中。为参数，导函数方程/'(x,)=0的根存在，却无法求出，设方程。)=0的根为则有有关系式f(x°)=O成立，该关系式给出了玉),。的关系；注意确定方的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理：设函数力在闭区间凡可上连续，且/()/S)VO,那么在开区间(。/)内至少有函数/(x)的一个零点，即至少有一点(4),使得“o)=O若/(a)(0)<0,则/(x)的零点不一定只有一个,可以有多个若a)“。)。，那么在W,可不一定有零点若/(冗)在。，可有零点，则/()(b)不一定必须异号(3)若/(x)在出句上是单调函数且连续，则f()3)<0=(x)在(,b)的零点唯一.二、典型例题例题1.(2022全国高三专题练习)已知函数f(x)=e=x+22.(1)求的单调区间和极值；(2)若存在实数工，使得/(x)f+2x-3+2m成立，求整数机的最小值.第问解题思路第1步：变量分离，等价转化：存在实数盯使得/(x)Wx2+2x-3+2,成立，优先考察变量分离法，将f(x)=ex-X+2x2A：e*-x+Zfr+2x-3+2"?等价转化为：ex+x2-3x+32m第2步：构造函数：g(x)=e'+x2-3x+3,则目标转化为:Tg(XLm第3务：借助导数研究Xer)=e*+x2-3x+3:/(x)=e'+2x-3(g“)不容易确定正负，且含有，通常进行二阶导)；第4步：求二阶导，g"(x)=e'+2,显然g"(x)=+2>0,从而说明g'(x)=e12x-3在R上单调递增第5步：借助零点存在定理，找出g<x)=e"+2x-3=O的根：(l)=e-l>0,5=？-2<0,所以：存在.“U，使得g'(%)=0,即1+2/-3=0,也即/=3-2/第6步：得到g(x)="+x2-3x+3的单调性：当x(yo,Ai)时，()<0,g(x)单调递减.当xe(如+8)时,g'(玉)>O,g(x)单调递增.第7步：求g(x)milj(x)()=,÷2-+3=3-2xo÷xo2-3÷3=2-5+6当Xoe(；)时，2<-02-5x0+6<所吗g()QS第8步：得到结论：由题意"2Jg(),所以整数?的最小值为1【答案】Fa)在(f，0)上单调递减，在(。+8)上单调递增，当=0时，f(x)有极小什"(0)=1,无极大值.(2)1【详解】(D由f(x)=d-x+2,可得f'(x)=+4x-l又(X)=夕+4>0恒成立，则/'(X)在R上单调递增，且/'(0)=0所以当x<0时，,(x)<0,当x>0时，,(x)>0所以/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.所以当X=O时，"力有极小值O)=I-O+0=1,无极大值.存在实数X,使得f(x)x2+2x3+2帆成立即存在实数1,使得e'-x+224f+2-3+2m,即，+f-3x+32加成立设g(x)="+W-3x+3,即(X)S0X11un/(x)="+27小)=/+2>0所以g'(x)=+2x-3在R上单调递增./=e-l>O,g(g)=G2<0所以存在/w(g,l),使得g'(%)=0,即1+2/-3=0,也即*=3-2/所以当x(o,%)时,g'K)<O,g(x)单调递减.当x(如+8)时，g'(%)>O,g(x)单调递增.所以g(x)g(xo)=淖+-3xq+3=3-2a+-3x0+3=玉)2-5%+6当Ai)(万/)时，2<x02-5x0+6<所以g(XO)W(I，H由题意，2I"nlg()所以整数m的最小值为L例题2.(2022甘肃金昌市教育科学研究所高三阶段练习(理)已知函数f(x)=阮1+2-工+1-。(£/?)(1)若。=2求函数f(x)的单调区间；(2)若存在>1,使f()+<一成立，求整数”的最小值.第丽解题的第1步：变量分离，等价转化：存在x>l,使/()+<?成立，优先考察变量分离法，将/(x)=ta+-x+l-t7ft:(x-l)a>xnx+2x-t由于x>l等价转化为：4>'"'+工"XX-I第2步：构造函数：g(x)=则目标转化为：C>g(x*nX1ynYJ-2X1/XInX-2第3步：借助导致研究g(=叫匕f：g(1=,H(g'(x)不容易确定正负，且含有Inx,通常进行二阶导)；令：h(x)=x-nx-2第4步：求二阶导：MX)=I=MX)在(L+)上单调递增第5诟借助零点存在定理？找出MX)=XTnX-2的根：M3)=3-ln3-2=l-ln3vO,(4)=4-ln4-2=2-21n2>0,根据零点存在性定理，可知MX)在(l,+)上有唯一零点，设该零点为,则内)e(3,4),且&j=N)-InXO-2=0,即第6步：得到晨力=包若±1的单调性：当')时，/(xo)<O,g(x)单调递减.当Xt(如+8)时，g'()>O,g()单调递增.第7步：求g(x),zg(%n=纪艺上产一+1,a0(3,4)第8步：得到结论，可知>y+1,又飞«3,4),。2,的最小值为5【答案】(1)f(力的增区间为(0,2),减区间为(2,内)(2)5【详解】(1)由题意可知，>o,>(x)=i-=2y当=-2时，令r(x)=0,x=-l或x=2：r(x)>O时，0<x<2,f(x)在(0,2)单调递增；r(x)v时，x>2,f(x)在(2,+oo)单调递减：综上所述，的增区间为(0,2),减区间为(2,”)(2)原式等价于(xl”>jdnx+2x1,即存在x>l,使业牛成立.X-I设 g(x) =xlnx÷2x-lx-1则 g'(H =x-nx-2(if设(X)=X-lnx-2,则“('=1一，=!>0,.z(x)在(L+oo)上单调递增.X(3)=3-ln3-2=l-ln3<0,/?(4)=4-ln4-2=2-21n2>0,根据零点存在性定理，可知MX)在(1,E)上有唯一零点,设该零点为飞,则无«3,4),且(%)=%-仙与-2=0,即/一2=InX0, g(x)minX11 In .r0 + 2xfi -1XOT由题意可知>0+,又不«3,4),z,的最小值为5.三、题型归类练a11. (2021山西太原五中高三阶段练习(理)设函数)=Mx,g(x)=r+3(R).X(1)求函数奴X)=+g)的单调增区间；(2)当。=1时，记/Z(X)=V)g(%),是否存在整数4,使得关于X的不等式24Kr)有解？若存在，请求出4的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln20.6931,ln31.0986)【答案】(1)答案见解析(2)存在，2的最小值为0因为奴幻=(x)+g(x)=1nx+r+3(x>0),Xf-r“、1a-ax2+x-(a-)ar一("l)(x+l)八所以9(x)=+a-=7=(%>0)，Xirx-x-当a=0时，由"(H>0,解得x>0：当a>l时，由"(x)>O,解得x>?；当0<avl时，由d(%)>0,解得x>0;当a=l时，由d(%)>0,解得X>O;当av时，由"(x)>0,解得0<工<与匚，综上所述,当a<0时，/(x)的增区间为当04l时,e()的增区间为(o,y)；”>1时，0(x)的增区间为(1+8).(2)当a=l时,g(x)=x-3,所以力(X)=(X-3)lnx,而Zf(X)=Inx+=Inx+1XX因为y=lnx,y=-/均为(0,+e)上的增函数,3故"(x)=lnx-三+1为(0,y)上的增函数,X而"(2)=ln2-g>0,I(I)=InlIvO,故Aa)在(0,+8)上有且只有一个零点七,<x0<23且InxO=1且Xe(O,0)时，"3<0；当Xea),”)时，,(x)>O,故人(K)在(0,不)上为减函数，在(M,”)上为增函数,3IQ故"")min=M/)=(七3)InXO=(X0-3)_1=6-X0+-v-xO/313920因为5<%<2,-<xo+-<-t1<2,2(9所以一彳<6-x0+-31工(J而整数/1,使得关于X的不等式22Kr)有解，故2l0,故存在整数冗满足题意，且2的最小值为0.2.
