课堂导学（2.1.1合情推理）.docx
课堂导学三点剖析一,运用归纳推理发现新事实，获得新结论【例1】在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线由此猜测凸n边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；于是猜测凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+(n-2)=-n(n-3)(n4,nN*).2温馨提示归纳推理是由局部到整体由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会.在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系，如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量观察分析,才能发现其对角线条数的增加规律.二,运用类比推理揭示事物相似(相同)的性质【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即a+b=b+a;a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c)；(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.a+x=O与a+x=O都有唯一解，x=-a与x=-a.在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+O=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a+0=a.温馨提示类比是对知识进行理线串点的好方法，在平时的数学学习与复习中，常常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆与运用.三,利用合情推理探索新结论拓展知识例3在AABC中，余弦定理可表达为a2+c2-2bccosA,a、b、C依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜测.解:Si、S2、S3、S分别表示aPAB、APBCPCA.AABC的面积，q、B、Y依次表示平面PAB与平面PBC,平面PBC与平面PCA,平面PCA与平面PAB所成二面角的大小，猜测余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为S2=St2+S22+S32-2SS2cos-2S2S3cosB-2S3Scos.上式可表达为四面体的一个面的面积的平方，等于其他各面面积平方的和，减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理来证明三角形余弦定理的方法，给出较简捷的证法.各个击破类题演练1意大利数学家斐波那契(LFibonacci)在他的1228年版的？算经？一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.这就是斐波那契数列，此数列中a=a2=l,你能归纳出，当nN3时演的递推关系式吗？解：从第3项开始,逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得:从第3项起，它的每一项等于它的前面两项之和,即a11=a11-+a<1-2(n3,nN*).变式提升1数列a11中，a=2,afl.广一一,nWN,依次计算a2,a3,M并归纳猜测出厮的表达式.3%+1M22222解：32=6+176+13×2+l6×1+12亍2222a3=-=,.v21312+13×4+l6×2+l72._2_2_2_2d'6T1918+13x6+1-6x3+1'十11322故a=7-=不一.6x(-1)+16-5类题演练2类比圆的以下特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点(X。,yo)为圆心,r为半径的圆的方程为(XrO)2+(y-y0)2=r2.解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球有外表积与体积；(4)在空间直角坐标系中，以点(xo,y°,zo)为球心,r为半径的球的方程为(-o)2+(y-yo)2+(Z-Zo)2=r2.变式提升2从大小正方形的数量关系上,观察如右图所示的几何图形,试归纳得出的结论.解：从大，小正方形的数量关系上容易发现I=I2,l+3=2×2=22,1+3+5=3×3=32,1+3+5+7=4X4=42,1+3+5+7+9=5X5=52,1+3+5+7+9+11=6×6=62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜测：l+3+5+7+(2n-l)=n2.类题演练3Sn=!+一+!+.+-,求出S,S2,S3,S-并归纳猜测Sn的表达式.1×22×33×411(h+1)1234解：取n=l,2,3,4,计算可得Si=,S2=-,S3=一,S产一，观察4个结果，都是分数，分子正好等于和式的项数，分2345母比分子大1,故归纳猜测Sn=/-.n+.l4-r，口八八1/11、1n,nn计算可得Sn=(l-)+(-)+=1-=.223n+l+1+1变式提升3观察以下已有的数的规律在()内填入恰当的数.1111211331146411()()()()11()()()()()1解：到依次为5,10,10,5,6,15,20,15,6,每个数均为该数两肩之上的数之和.
