第六章 数列.docx

第八早散列第1节数列的概念对应学生用书P137考试要求1 .了解数列的概念和表示方法(列襄、图象、通项公式).2 ,了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.理清,知识结构 基础全通关一、数列的有关概念数列按照的一列数数列的项数列中的数列的通项数列勖的第项电通项公式数列&的第/7项却与/?之间的关系能用公式表达前项和Sn=数列的函岫狂r数列可以看成以正整数集NI或它的有限子集1,2,用)为定义域的函数a0=g(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一：(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数有穷数列项数有限分类无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列递减数列常数列a*>a11Sj*Bn其中mNa=a摆动数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项三、数列多的d与S,的关系1.数列9的前"项和:S=afS,n=1,2.a=SnS,n2.a当出2时求出的a”也适合时的情形,可用一个式子表示品,否则分段表示.自我诊断1 .判断下列结论是否正确.(对的打V",错的打"?)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1,1,1,1,不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.()(4)如果数列%的前。项和为Sa则对任意后N:都有厮+1壬+£.()(1)x(2)*(3)*(4)Ad=FCT答案解析2 .(教材改埔)数列编的前几项为拉多8,今则此数列的通项公式可能是().A数列为蒜号笔日,其分母为2,分子可表示为1伤(尸1)力4因此通项公式可能为a”号.3 .已知数列涮是递减数列,且»=2也1-办则实数a的取值范围是.(2,M:3=2a(1-ri,.an=(2-a)na.数列a是递减数列2-a<0,解得a>2.4 .(2023广东汕头三横)已知在数列d中,小当7>1时,a*1高,则a2Q23=().A，4BtC.5D，4455A由施意得总=Iv=5,33=1总总国=1卷=3,则数列%的周期为3,则32023=74*31=Qy=-j.5 .(2023广东模拟)设数列面的前项和为SA且£=2勖1(住N),则an=().A.2B.2-1C.2nD.2'1D当n=时a=S=23-1,可得a=1;当2时,a=S?-SmiN(a0-3mi),即anNaz.数列d是首项为1,公比为2的等比数列,其通项公式为an3L突考点题型 命题全研透考点一由数列的前几项求通项数列表点枭点，的一个通项公式为a产(1这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-IyI_：'n(n+l)r已知数列褊的前4项是拉卷卷,则这个数列的一个通项公式为an=.-三数列莉的前4项可变形为鬻,曾1,鬻孝詈,故命手答S)>>由数列前几项归纳数列通项公式的方法及策略(1)常用方法有观察法(观察规律)、比较法(比较已知数列)、归纳法、转化法(转化为特殊数列)、联想法(联想常见的数列).同时也可以利用添项、还原、分割等方法,寻找到一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略观察分式中分子、分母的特征；观察相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于为一次递增或以293”等形式递增；多观察拆项后的特征；观察各项的符号特征和绝对值的特征；匕异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(-1)C或(1)"M止W来处理.感悟实践(2023天津月考)已知数列5,11,T7,X,则5S是它的().A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项C数列11I7,夜,旧,中的各项分别可变形为5,6,5+2X6,5+3X6,5+4x6,所以该数列的一个通项公式为a=j5+6(«-1)71令倔口=5花,得=21.故选C.cn + 3,n为奇数, 则 a=).2n-l,n为偶数，考点二根据递推关系求数列的项(2023安徽蚌埠三模)若数列&满足多，且3cmWA.19B.22C.43D.46C由a=1得及=&*3=4,33=2&-1=7,34=33+3=10,35=2国-1=19,浇=行+3=22同=2企-1=43.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可；(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如旬+】受.感悟实践(2023广东茂名模拟)设数列加满足a=且2%"%+如=3%”(代N)则尔=().acdC.:24出弓=3%解得及Wj，2*aj*W皿解得二2脸氏脸=3瓯解得郎福考点三根据S和%的关系求通项已知数列丽的前/7项和Sn,且S2"2"*,则an=.(6,n-1,(2X3nl+2,n2修下当=1时a=S=6；当ri2时3=SrsMM3“#2+1)43""2(#1)*=2侬”2.因为aW不符合此式厮以利黑就+2,n2.1.已知&求%的三个步骤(1)先利用=S求出田；用/?-1替换S)中的"得到一个新的关系,利用3c=ScSn”(应2)即可求出当112时a的表达式;(3)注意检验n1时的表达式是否可以与112时的表达式合并.2.S,与加关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用品=S5m(i2),转化为只含SStm的关系式,再求解；利用S)-Sn.=翅庇2),转化为只含即a。的关系式,再求解.感悟实践已知数列七的前项和为Sn且住N：则下列结论正确的是().A.a)=2n-1B.a=2n12(n = 1), ,2n-l(n 2)D.a2(11=1),2n+l(n2)CSn=fM,当n=时a=12*=2;当虑2时,SMTa-1)2+1,a7=SjSl-=1<0-1)2-1=20-1.当/7=1时,为=2/?1不成立,所以ap4n?.(ZnTulZ).考点四数列的性质命题角度1数列的单调性(改编)设数列9的通项公式为"=炉地,若数列g是单调递增数列厕实数b的取值范围为().A.1,*)B,(-3.HC.-2,)D.(-,+oo)B.数列&是单调递增数列,：对任意的代N都有an+ia,.：m+1)2+a+1)d+M,即0Y2,+1)对任意的住W恒成立.又“1时K2"+1)取得最大值3.力3即实数力的取值范围为(3*也故选B.判断数列单调性的方法作差比较法ax-azp。数列为是递增数列;声”自0。数列%是递减数列;产O=数列a力是常数列.(2)作商比较法:当为X)时,出口1。数列%是递增数列;皿1=数列d是递减数列;皿=1。数列»是常数列.当af,Onnan时,M±=数列»是递减数列;皿=数列是递增数列;如I=IO数列(务是常数列.ananan(3)结合相应函数的图象直观判断.感悟实践(改编)已知数列a的通项公式为%¥,若数列g°为递减数列,则实数4的取值范围为().A(3,s)B,(2,*a)C.(1,MD.(0,MD因为4”乐书律竽孝警,由数列4为递减数列知,对任意代N；3e%专普0,所以A3Q?对任意代M恒成立,所以依(0,).命题角度2数列的周期性(2023河南郑州模拟)设数列a满足为+1受,且aW则拿022T).A.-2BTC.D.3D一由题意可得改岩书力争岩号.2岩黑小岩耳据此可得数列9是周期为4的周期数列,则/022=济05皿=金=3.(8S)>>解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.感悟实践1 .(2023北京市昌平区抽测)斐波那契数列又称“黄金分割数列”,因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列包可以用如下方法定义:=&z+%.2(&3,N),a=改=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列d,则fo02i=().A.1B.2C.3D.5A因为an=ana-2()3,N),a=a=1,所以数列%为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.此数列各项除以4的余数依次构成的数列6为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,它是以6为周期的周期数列,所以>2021=Z336*5=¼=1.故选A.2 .(2023福建模拟)在数列%中a=2%H=1',则不)22的值为n因为卅=-2,&*=15所以至6卷弓,色=1得3，&=1*-2,金工卷=|,所以数列a是周期为3的周期数列,所以命题角度3数列的最大(小)项(2023北京三模)已知数列满足向改全品=戍其中=112,3,则数列劭().A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C,无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项A依题意得当=1时a=l2.W)2,n2,易知a”随着的增大而减小,故%az=4,且n2当底2时,2改团.孤1=(。)2,51a33.%=出两式相除有Hn=2111+"I)a0>1=a,故最小项为eK.最大项为32=4.已知数列网的通项公式为则数列%中的最大项为().A«b2c-D4qd,3u481u-243A一空号F款+»令竽l,解得<2；令段±1封,解得"N；令*,解“又声乂）,故a<32=用,色>34>方>>a,所以数列4中的最大项为/或3,且氏=33三2*（§2,.故选人.（>>求数列中最大（小）项的常用方法（1）函数法,利用函数求最值.通过通项公式多研究数列的单调性,利用：I然（.2）确定最大项,利用：I：严2）确定最小项.（3）比较法:。若&“-%=S+1）Y功乂）（或当为乂）时,皿X）厕a*>外即数列品是递增数列,所以数列品的最小项为Qita=P）；91a=4"1）-仙）<0（成当&乂）时,如<1）,则为+«a,即数列d是递减数列,所以数列方的最大项为a=41）.an感悟实践1 .（改编）已知数列%的通项公式为&=炉9