概率与数列递推30题（马尔科夫链）.docx

概率与数列递推30题（马尔科夫链）人教A版数学选择性必修三【P81】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔IS等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.o00OOOO-QO-00-6-5-4-3-2-101234（1）质点回到原点;（2）质点位于4的位置.【解析】（1）质点回到原点，说明质点向左、向右各移动3次，其对应的概率q二C：m3.m3_ 5"T6332（2）质点位于4的位置,说明质点向左移动1次,向右移动5次,其对应的概率6=C：P91甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求次传球后球在甲手中的概率.【解析】记第次传球后球在甲手中的概率为Pn9则第-1次传球后球在甲手中的SE率为PQ,开始时球在甲手中，则=1.若第次传球后球在甲手中，则第-1次传球后球不在甲手中，即第-1次传球后球在乙或丙手中，所以第11-次传球后球不在甲手中的概率为1-ET,又乙或丙在第次把球传到甲手上的概率为:，于是有：（Tl）=%即），*，于是数列匕-;,是首项为=公比为-g得等比数列,所以小那'卜扪所以TXH）+?£，）1.（单选）设一个正三棱柱ABC-。所，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面A3C的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为九，则%为（）【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为匕.2若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为,Ee2）;若上一步在下面，则第-1步不在上面的概率是I-K”，（2）.如果爬上来，其概率是g（i）,52）,?I11Ilf1A两种事件又是互斥的，",二寺+q（aj,即匕=MT+三，二心5=W文5数列I匕一是以;为公比的等比数列，而=g,所以=g（g+g，I（I丫°1当/7=10时，P0=-.-+-,故选：D.,02UJ22.甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，由甲先掷.规定：若甲出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷.两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为匕，则G=，P11=.【解析】“甲掷到1点”或“乙掷到3点”的概率为,，"甲未掷到1点”或“乙未掷到3点”的概率为66设第次由甲掷的率为匕，则由乙掷的概率为1-匕，第一次由甲掷，故第二次由甲的概率R=，61552于是，第+1次由甲掷的概率为匕+1=”+/一片）=/：匕，所以Pw=T，n2 £ N二当 =3 时,11OK-E是以一；为首项，为公比的等比数列(“2),11（2Y-2当=1,时6=1也满足上式，于是匕=L-Lx-2313）3.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3,将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为，数列伍”的前和为5“记S”是3的倍数的概率为P(i).(1)求尸，P(2);(2)求产().解：(D抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故P(I)=g,抛掷两次，一共有42=16个结果，出现1+2,2+1,0+0,3+3,O÷3,3+0时，符合要求，故计6种情况，故尸(2)=2=.(2)设工被3除时余1的概率为月()，S”被3除时余2的概率为鸟()，则p(+i)=gp()+；4()+；25),4(+l)=；P()+g()+；2()，2(+l)=；P()+；q()+JgS),-(+)，得：P(n+1)-I(n+l)+5(w+l)=一；4()+鸟5),化简，得4尸5+l)=M")+l,所以P5+D-g=;&)-：,又P(I)=L所以是以!为首项，为公比的等比数列，得&)=：+声4.2IJJ643344. (2023佛山二模)有个编号分别为1,2,3,的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第个盒子中取到白球的概率是.【答案】记事件Aj表示从第Q=12,)个盒子中取出白球，则P（八）=|，P（八）=4，P(4)=P(A4)+P伍&)=P（八）P(A2A)+P(4)p(4Q=gg+gW=FP（八）=P(4)P(AI4)+P(4)P(AI4)=；P(4)+；=果P(A4)=P(4)P(4l4)+P（八）P(4lA)=gp(4)+；,P（八）=；P(4,i)+；,p()-=P(Al)，f（八）-=>3jZ31_Zj20*(4)一:是以，为首项,，为公比的等比数列'*4)一，=4乂化=-×f->v72j63'26l3j2UP（八）=XX5. (2023唐山调研)甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k次传球后球在甲手中的概率为1"，%£N*,则下列结论正确的有()APi=OB.P2=gC0+2PaM=ID.P2023>I【答案】Pl表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以P=0,A选项正确.P2表示第2次传球后球在甲手中的概率，则%=；，B选项错误.P"=PJ<O+(1-0)X，即Pa+2Phi=1,C选项正确.1111If32 k 2 3 2111Pk+=FPk+万，Pz-所以数列J"一1是首项为公比为一;的等比数列,苗D即111(Y,11(Y,所以所以0a=_3乂a=-×-，=-×-j=-×4-<-D选项错误.333312J33220223一顶点，其中顺时针的概率为士，逆时针的概率为；33%（wN"）.下列说法正确的有（ACD）13F二万271B.P2n+=1C（IYT1cP2n-l=7xo+Ok22022A>505=/【解析】有四种情形：AfBfe-B,A-DfAfB2211222121111：33333333333332”对于B,当为偶数时，从顶点A出发，只能到达A设蚂蚁经过n步到达B、D两点的概率分别为P.,B,A-*B-*A-*B,AfDfCfB,故选项A正确；点或C点，此时pn+qn=0,pn=0；6.（多选）如图，一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另当为奇数时，从顶点A出达B、D两点为不可能事件:对于选项C,当为偶数时率，分别为PX=+现计论从顶点A出发经过I发，只能到达B点或D点，此时P+%=l,即从顶点A出发经过2步到，即0=%=°，故选项B错误；,pn=09当为奇数时，先计算从B点或D点出发经过两步到达B点的概12411225339DTB33339步到达B点的两种情形：D从顶点A出发经过-2步到达B从顶点A出发经过-2步到达D点,所以P“=gP”-2+§%-2=§P”-2+§（1-rr1If1所以几Pi-=露再经过两步到达B点的概率为p,再经过两步到达B点的概率为。/_2，-Pn-2），一一1弓一;=:，易得凡+；,故选项C正确;3260792(IY(IY(IYTpk=ppN+N+N+55 A=-× 201011 31011UCU十4>>5059故选项D正确.2027 .（多选）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为跳向不相邻顶点的概率为!.若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃次后仍位于顶点A上的概42率为匕，则下列结论中正确的是（）A.青蛙跳跃2次后位于B点的概率为L48 .得一：是等比数列C.青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于LD.存在整数N',使得青跳动次后位于C点和D点的概率相等【答案】ABC【解析晴蛙跳跃次后仍位于顶点A上的概率为Ptlt则青蛙跳跃/2-1次后仍位于顶点A的概率为PQ,不位于顶点A的概率为I-Kt，位于B、C>D的概率都为:（1-Kt）,第次跳跃，为D跳跃至A的概率是g（l一4）x；,为B跳跃至A的概率是g（l一）x；,为C跳跃至A的概率是g（l一4）g,于是有,K=g（1e“）x；x2+；（lK_Jxg=g（l-匕.J,即匕一;=Y11l（neN）,Po=,是以4一；='为首项，一；为公比的等比数列，=,nl,4J4434413J131Y当=O时，代入验证成立，于是=±+2一±,n0.443J设青蛙跳跃次后位于顶点C上的概率为Qfl,则青蛙跳跃-1次后位于顶点C的概率为Qa,不位于顶点C的概率为1一2一，位于A、B、D的概率都为：(1一。“)，第次跳跃，为A跳跃至C的概率是(1-f.1)×p为B跳跃至C的概率是:(lQ-Jx；,为D跳跃至C的概率是,于是有，l=0-,-1)×(1-a-.)×7×2=(1-)*11/11即0-7=_鼻,-1-7，"2("N*),Q=-,Jr!是以为首项，为公比的等比数列，,-=-×f-l，4J44344I3J设青蛙跳跃次后位于顶点B上的概率为Rn,则青蛙跳跃-1次后位于顶点C的概率为Re,不位于顶点C的概率为1一47,位于A、B、D的概率都为g(l-R,),第次跳跃，为A跳跃至B的概率是1(1为C跳跃至B的概率是:(1为D跳跃至B的概率是:(1于是有，R“J(l即RH=TRT)"2("WN,),K=；,R“二%即青蛙跳跃次后位于顶点B上的概率为卜于是青蛙跳跃次后位于顶点D上的概率为1-1 ( IYT× 综上，易得答案为ABC8. (2024武汉9调)甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷"("N*)次骰子后，记球在甲手中的概率为2，则鸟=，P11=.【解析】记第次球在甲手中的概率为乙，记第次球在手中的SE率为Q”，记第次球在丙手中的概率为R.,则有*R“，Qe=S”，R角=4。，121由，得QN÷+1=l-+1=-÷-1÷-R，