微专题8 切线与公切线问题.docx

微专题8切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.答案C)解析-=*rz.,ev(x+l)-evlxex由通意可知y="I)?则曲线y=*在点（1,3处的切线斜率攵=）'，=k东所以曲线y=Wf在点（1，1）处的切线方程为厂芸十一1）,即y=%÷*故选C.2 .（2020.全国I卷）函数“¥）=/2?的图象在点（1,五1）处的切线方程为（）A.y=-2x1B.y=-2x+1C.y=2-3D.y=2x÷l答案B解析人1）=1-2=1,切点坐标为（1,-1）,又Fa）=43一6f,所以切线的斜率k=f=4Xl3-6×l2=-2,切线方程为y+l=-2（x1）,即y=-2x+l.3 .（2021新高考I卷）若过点（，与可以作曲线y=的两条切线，贝J（）A.eh<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D解析根据>=e、图象特征，y=e"是下凸函数，又过点(,6)可以作曲线y=ex的两条切线，则点3，6)在曲线y=e'的下方且在X轴的上方，得0<*e".故选D.4 .(2022新高考I卷)若曲线y=(x+4户有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.答案(-8,-4)U(0,+)解析因为y=+)e所以)'=(x+l)ex.设切点为Aao,(xo+4)exo),O为坐标原点，(xo÷6?)ero依题意得，切线斜率koA=y,x=xo=(xo+a+)et=，AO化简得+ro-0.因为曲线y=(x+)e'有两条过坐标原点的切线，所以关于XO的方程xi+axo-a=O有两个不同的根，所以d=+4>0,解得av4或>0,所以。的取值范围是(一8,4)U(O,+o°).5 .(2022新高考H卷)曲线y=n|用过坐标原点的两条切线的方程为,答案y=exy=ex解析先求当x>0时，曲线y=lnx过原点的切线方程，设切点为(xo,yo),则由y，=:，得切线斜率为，又切线的斜率为?，所以士=舞人U人U人。解得Jo=1,代入y=lnx,得XO=e,所以切线斜率为切线方程为y=.同理可求得当<o时的切线方程为y=一%.综上可知，两条切线方程为y=-x.CC【热点突破】热点一曲线的切线I核心归纳导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1(1)(2023北京东城区模拟)过坐标原点作曲线y=ex2+1的切线，则切线方程为()AJ=XB.y=2xCj=/VD.>=ex(2)(2023西安模拟)过点(1,2)可作三条直线与曲线7U)=x3-3x+相切，则实数a的取值范围为()A.(l,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)答案(I)A(2)D解析(1)由y=eL2+,可得y=eL2,设切点坐标为(f,ez2+l),可得切线方程为y-(e2+l)=e2(-0,把原点(0,0)代入切线方程，可得0小厂2+i)=e厂2(0一即(Ll)U"=1,解得f=2,所以切线方程为y-(e+l)=e(-2),即y=x.(2)J(x)=X33x÷a,/(x)=3x2-3,设切点为(Xo,x3xo+a)t则切线方程为y(高一3xo+g)=(38-3)(-xo),切线过点(1,2),则2(x-3xo+Q)=(3x-3)(1刈),整理得到。=2君一3而+5,方程有三个不等根.令g(x)=2x3-3f+5,则gq)=6f6x,令g'(x)=O,则x=0或x=l,当x<0或Ql时，gXr)>O,g(x)在(一8,0)和(1,+8)上单调递增；当O<r<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,极大值g(O)=5,极小值g(l)=4,函数)=与>,=28-3x8+5有三个交点，则4<“<5,。的取值范围为(4,5).规律方法求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.训练1(1)(2023郑州二模)已知曲线y=xlnx+oeX在点X=I处的切线方程为Zry+b=O,则b=()A.1B.2C.-3D.0(2)(2023南昌模拟)函数於)=/一"在x=l处的切线平行于直线不一)，一1=0,则切线在y轴上的截距为.答案(I)C(2)-2解析由题意可得y=lnx+l-e-v,根据导数的几何意义可知，在点x=l处的切线斜率为1一?=2,解得。=一已所以切点为(1,-1),代入切线方程可得2+l+b=0,解得力=一3.(2)/Fa)=3fc9由题意Jr(I)=3。=1,即4=2,所以人工)=/2x,则y(i)=1故凡¥)在X=1处的切线方程为y(l)=x1,即y=x-29则切线在y轴上的截距为一2.热点二曲线的公切线I核心归纳导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.考向1切点相同的公切线问题例2已知曲线於)=/一2加，g(x)=31n-X,若y=(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同，则机=()B.lA.-3C.2D.5(2)若存在>0,使得曲线y(x)=6lnX与g(x)=f4X-b在公共点处的切线相同，则Z?的最大值为()abC-LcJ-c6?d3?答案(I)B(2)D解析(1)设曲线«x)=f2机和g(x)=31n-的公共点为(XO,yo),f (Ao) =g (XO), f (Xo) =g,(X0),向一2n=31nxo-xo,解得XO=ZW=L(2)设曲线y=/U)与y=g(x)的公共点为(X0,州)，X2"(x)=子，g,(x)=2-4a,.*.2xo-4=,则需一2vo-3o2=0,解得XO=-a或3，又xo>O,且a>0,则Xo=3a.<Axo)=g(xo),.,.o4tfxo-b=6a2lnxo,b=-3a2-6a1n3a(a>0).设h(a)=b,h!(a)=12(l÷In3d),令"()=0,得a=.当0<<时,f(a)>O;当时，万(。)<。:.b的最大值为人田=5考向2切点不同的公切线问题例3(1)(2023邵阳二模)已知直线/是曲线y=111。-2)+2与)，=3X一1)的公切线,则直线/与X轴的交点坐标为.(2)已知曲线G：y=eA+X,。2：=x2+2x+a(a>0)t若有且只有一条直线同时与C”。2都相切，则=.Mgf3+ln2、答案(I)L，Oj(2)1解析(1)设直线/与曲线y=ln(-2)+2和y=ln(-1)分别相切于AaI,y),3(x2,")两点，分别求导得y=J1y'=±,故/：yIn(xi-2)+2="jjx-x),整理可得y=Jx+ln(x2)+2-ZZ同理得/：y-n(x2-1)(-2),1Xj整理可得y=J-x+n(X2-)-J.因为直线/为两曲线的公切线，C=',Xi-2X2-1,所以JIn(XI2)+2Xlo=ln(x2-1)IXi-23-2 5-2得 解所以直线/的方程为y=2x3M2,aLl3÷ln2令y=0,贝UX=-5一则直线/与X轴的交点坐标为"2，0)(2)设/与Cl相切于P(M印+幻)，与。2相切于点(X2,X2÷2X2÷6?),由Ci：y=e'+x,得y=ev+l,则与Cl相切于点P的切线方程为yev-x=(ev+l)(-Xi),即y=x(l÷e)-xet+ev.由C2：y=-2+2x+a9得/2÷2,则与。2相切于点。的切线方程为y+后一2x2a=(2xz+2)(-X2),即y=x(22x2)+o+5,因为两切线重合，所以1+印=22x2,ev-xev=÷x?,Iex由得X2=-代入得4(1x)ex=4+12er÷elr,化简得e2x6ev+4xev=-14a,可得Xl=0,a=1时等式成立.故=l.规律方法求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.训练2(1)(2023济南调研)已知定义在(0,+8)上的函数式)=-22+zw,g()=-31n-,若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则”的值为()A.2B.5C.lD.0(2)直线/：y=kx+b是曲线"X)=Ina+1)和曲线g(x)=ln(e2)的公切线，则b=()A.2B，2C.ln5D.ln(2e)答案(I)C(2)C解析(1)根据题意，设两曲线y=7(x)与y=g(x)的公共点为(a,b),其中。0,由7U)=-2x2+m,可得/(x)=14x,则切线的斜率为k=f(a)=4af由g(x)=-3In-i3可得g<x)=一嚏一1,3则切线的斜率为k=g,(a)=-9因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同,又由g(l)=-1,即公共点的坐标为(1,-1),将点(1,1)代入兀0=2/+相，可得W=L(2)设直线/与曲线段)=ln(x+1)相切于点A(x,y),直线/与曲线g(x)=ln(e2)相切于点B(X2,y).Vx)=ln(x+l),则)=*p11-c由/Qi)=j11+=%,可得Xl=，则y=y)=ln(x+D=-InM即点a,-nky将点A的坐标代入直线/的方程可得一InA=k丁+仇可得b=%In41,V(x)=ln(e¾=2+lnx,则g'(x)=:,由g'a2)=&,可得X2=S*=g(x2)=2-InK即点B(S2In将点B的坐标代入直线/的方程可得2Ink=k+h=h+1,K：.b=ITnk,联立可得无=2,/?=1In2=ln【精准强化练】一、基本技能练1 .函数yU)=4(D+inx在x=l处的切线方程为()Aj=2x2B.y=2x÷1CJ=-1DJ=X-1答案C解析因为/(x)=2f(l)+lnx+1,所以F(I)=»(1)+1,即/(1)=-1,所以五1)="(1)=-2,所以切线方程为y(2)=(x1),即y=-.2 .(多选)(2023漳州模拟)已知函数火X)=ex,则下列结论正确的是()A.曲线)，=Ax)的切线斜率可以是1B.曲线y=U)的切线斜率可以是一1C.过点(0,1)且与曲线y=(