【正文·精校版】第02章 一元二次函数、方程和不等式章.docx

第2章一元二次函数、方程和不等式模块1不等式与二次函数()内容提要本节包含不等式性质、一元二次不等式、一元二次方程根的分布三部分内容.1.不等式的性质(1)对称性：>bobVa；(2)传递性：a>b且b>c=a>c；(3)可加性：a>b=>a+c>b+c(4)可乘性：a>b且C>O=>ac>be；a>b且CVO=QCVbe；(5)同向可加性：a>b且c>d=Q+c>b+d；(6)同向同正可乘性：a>b>。且C>d>0=>ac>bd；(7)可乘方性：a>b>0=an>bn(nN*),2.二次函数与一元二次方程、不等式的解(以平方项系数Q>0为例)>0J=O<0函数y=ax2+bx+C的图象XZ玉=ZUx方程a/+bx+c=0的实根两个不等实根和%2(%1<X2)两个相等的实根b无】=无2=一五没有实根不等式a/+bx+c>0的解集xX<%或%>X21ixlx-iR不等式a/+bx+c<0的解集xIX1<%<x2003.根据一元二次方程在某间上根的情况求参:(1)若只说有根，没规定根的个数，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域，即可得到参数的范围.(2)若规定了根的个数，则常画出二次函数的图象，考虑判别式、对称轴、端点值.类型I：用不等式性质判断不等式是否正确例1下列说法正确的是A.若>b,则ac?>bc2B.若Q>b,Od,则-c>bdC若>匕，c>df则c>bdD.若>b,c>d,则+c>b+d答案：D解析：A项，当C=O时，ac2=bc2,故A项错误；B项，同向不等式可以相加，但不能相减，所以B项不对，下面举个反例，取Q=2,b=1,c=3,d=1,则Qc=-IVb-d=0,故B项错误；C项，同向同正的不等式才可以相乘，条件中没有同正，所以不对，下面举个反例，取Q=1,b=0,c=l»d=-2,则c=-1Vbd=0,故C项错误；D项，根据同向不等式的可加性，由俨可得q+c>匕+d,故D项正确.反思取特值检验不等式只能结合排除法用,若将特值代入不等式不成立，则此选项必定错误：反之，若特值满足不等式，该不等式却不一定恒成立.例如，本题的选项B中，若取=4,b=1,c=0,d=-l,则满足ac>bd,但此不等式不是恒成立的.例2(多选)已知>b>0>c,则下列不等关系正确的是()Ca(C+2)>(C+2)D.ab+c2>ac+be答案：BD解法1：给出了Q>b>O>c,可考虑由此取特值来检验选项，用排除法选答案,取Q=2,b=1,c=2,则2二=日，-=所以色>2,故A项错误；a-c4a2a-ca又(c+2)=b(c+2)=0,所以C项错误，此题为多选题，故选BD.解法2：A项，直接观察不易判断是否正确，可作差比较，Qs，=叱C)Um-C)=卢哈-Ca(Q-C)Q(Q-C)Q因为a>b>O>c,所以baVO,a-c>O,故匕一>0,所以匕>色，故A项Q-Ca(a-c)aa-ca错误；B项b-ca-c_b(b-c')-a(a-c)_b2-bc-a2+ac_(b+a)(b-a)-c(b-a)_(b-a)(b+a-c)、ababababab因为a>b>O>c,所以ab>O,b-a<Q,b+a-c>Of故匕/=Y)V0,abab所以UV等，故B项正确；abC项，此选项即为在a>b两端同乘以了c+2,当CVO时c+2可能为负，若为负，则a(C+2)Vb(c+2),故C项错误；D项，ab+C2(ac+be)=a(b-c)+c(cb)=(bc)(ac),因为Q>b>0>c,所以b-c>Ofa-c>0,故ab+c?一(ac+be)=(b-c)(a-c)>0,所以ab+c?>公+儿，故D项正确.总结(1)判断不等式是否成立这类题，特值法是取巧的办法，而若要推证，则应严格按照内容提要中所列的几条不等式的性质来进行等价变形；(2)当两个数无法直接看出大小时，不妨考虑作差比较.类型n：一元二次函数、方程、不等式的关系例3不等式/+3%-40的解集为()A.(8,4)U(1,+)B.(8,-4U1,+)C.(-4,1)D.-4,1答案：B解析：要解一元二次不等式，先解对应的一元二次方程，再画出对应的二次函数的大致图象来看,由/+3%-4=0可得(+4)(x-I)=0,解得：、=-4或1,所以二次函数y=X2+3x-4的大致图象如图，故不等式%2+3%-40的解集为(一8,-4U1,+).反思上面的过程给出了解一元二次不等式的基本原理，熟练后可直接将/+3%-4分解因式,再取解集即可，本节后续题目解析将不再阐释上述原理.变式1若关于X的不等式炉-(m+3)%+3m<O的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围是答案：O,1)U(5,6解析：X2-(n+3)x+3n<0<=(%-3)(x-m)<0,两根UPnl与3的大小不确定，需讨论，当m=3时，-3)(%-m)VO即为(x-3)2V0,无解，不合题意；当m>3时，(-3)(%-)VO的解集为(3,m),如图1,要使解集中有2个整数，应有5Vm6；当mV3时，(X-3)(x-m)VO的解集为(m,3),如图2,要使解集中有2个整数，应有0m<1；综上所述，实数m的取值范围是0,1)U(5,6,!I1!I»X-I!I.,!345册60rn23图1图2变式2若不等式a/+b%+c>0的解集是%I-1<X<4,则不等式/-1)+a(x÷3)+C>0的解花为答案：xI%V-1或%>1解析：由一元二次不等式的解集可推知对应的二次函数的大致图象，以及一元二次方程的根，因为q/+c>0的解集是%I-1<X<4,所以二次函数y=ax2+bx÷C的大致图象如图,1+4=-'(1)从而v,且1和4是方程%2+b+c=o的两根，故八。(TX4=其2)目标不等式中有,b,C三个参数，可由上式将它们统一起来，判断出了VO,故统一成,由(1)可得b=-3,由(2)可得C=-4at代入b(1)+a(x÷3)+c>0可得3(%21)+a(x÷3)4>0,两端同除以-整理得：3x2-x-2>0,所以(3x+2)(X-I)>0,解得：不<-：或%>1.总结一元二次函数、方程、不等式三者是紧密联系的，从一方的条件，可以推知另外两方的结论.类型11L一元二次方程在某区间有实根例4方程/+2%+1=0在（1,2）上有根，则实数的取值范围为答案：（一3,-;）解析：只说有根，没规定有儿个根，考虑参变分离，QX2+2x+1=0=/=一2%一IQa=一等，求出一尊（1,2）上的值域，即为Q的范围，一等=-：-2=一（：+1丫+1,由1<%<2可得：<：<1,所以gvg+lv2,从而3<（+l）V4,故3<一（：+1）+1V所以的取值范围是（一3,反思若一元二次方程在某区间有根，但没说几个根，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域即可.类型IV：一元二次方程在某区间有k个实根例5一元二次方程M+5%+4=0有一个正根和一个负根的充要条件是（）A.<0B.>0C.cV2D.>1答案：A解析：已经说了是一元二次方程，Q=O的情况就无需考虑了，只是规定根的正负，判别式+韦（21=25-16a>0达即可，设原方程的两根分别为修，x2,由题意，丫丫_4,解得：a<0.（xlx2-<U变式1若关于的方程/一（+1）%+4加2=0在（0,1）,（1,2）内各有一个实数根，则实数m的取值范围是答案：（°，；）解析：规定了两个区间上根的个数，考虑画二次函数的图象来分析，设f(%)=2-(zn+l)%+4m2,要使原方程在(0,1),(1,2)上各有1根，则f(x)的大致图象应如图，所以(f(0)4m2>0j(l)=4m2m<0,解得：OVmVa(2)=4m2-2m+2>0变式2方程以2-5+2)%+4=0在(1,+8)上有两个不相等的实根，则实数Q的取值范围为答案：(O,6-42)解析：此处规定了给定区间上根的个数，故考虑画二次函数图象来看，但Q的正负未定，得讨论开口，为了回避讨论，可在方程两端同除以Q,将平方项系数化1,但需先考虑Q=O的情形，当Q=O时，显然不合题意；当Q0时，a/m+2)%+4=0=g%+3=O(I),设/(X)="一管+,要使方程(1)在(1,+8)上有两个不相等的实根，函数f(%)的大致图象应如图，要让;(%)的羯象为如图所示的情形，需从判别式、对称轴、端点值三方面考虑，所以(=”J竺>0(2)q/az(对称轴无=管>1(3),将(2)化简得：2-12+4>0,所以(-6)2>32,!/=1-管+T>0(4)故QV6-4或>6+4,由(4)可得(>0,所以>0,从而(3)可化为+2>2,故QV2,于是OVQV2,综上所述，实数Q的取值范围是(O,6-42).总结若规定了一元二次方程在某区间上根的个数，则可画出二次函数的图象，再考虑判别式、对称轴、端点值，但有时只需考虑其中一两点即可，只要它能使图象成为我们需要的情形.模块2基本不等式第1节基本不等式的常见用法与拼凑技巧()内容提要设q>0,b>0,则?HK,当且仅当=B时取等号.我们把这一不等式叩做基本(均值)不等式，常用它来求一些代数式的最大、最小值，其运用口诀可简记为“一正、二定、三相等1 .一正：,b均为正数；2 .二定：用基本不等式求最值时应满足和为定值或积为定值.但需注意，若和或积不为定值，基本不等式仍然是成立的，只是求不出最值.3 .三相等：必须验证等号能取到，上述定值才是最值.另外，基本不等式还可以推广到n元的形式，设%1，%2,.,今均为正数，则生产1X1X2,n*当且仅当=%2=Xn时取等号例如，当九=3时，可以得到三个正数Xl,X2,也满足出声而为，取等条件是Xl=X2=%3用九元基本不等式求最值的原理，与二元基本不等式类似，此处不再赘述.运用基本不等式求最值的难点在于“凑定值”，本节将归纳几类常见的凑“和定”、“积定”的方法.类型L和定求积的最大值的基本方法例1已知Q>0,b>0,且2+b=l,则b的最大值为答案：i解析：,b均为正数，且已知2与b的和为定值，可直接用均值不等式求积的最大值，由题意，1=2a+b2y2ab,所以b,当且仅当2=b时取等号，结合2+b=1可得此时Q=b=i,所以b的最大值为428变式已知>0,b>0,且4+b=1,则IogzQ+IOgZb的最小值为22答案：4解析：由对数运算性质，log”+Iogib=log()(l),222注意到y=log变为减函数，故只需求Qb的最大值，条件中有和为定值，可用均值不等式求积的2最大值，由题意，1=4+b2ab=4HF,所以bj，当且仅当4=b时取等号，16结合4q+b=1可得此时Q=q,b=所以(b)max=5结合(1)知(Iog