【正文·精校版】第01章 集合与常用逻辑用语章.docx

第1章集合与常用逻辑用语模块1集合()内容提要在全国高考中，集合这一节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考的知识点.L集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性.2 .集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中AQB或真子集集合4是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB集合相等集合A,B中的元素相同或集合4,B互为子集A=B3 .子集个数：含有n个元素的集合的子集有2几个，非空子集有小-1个，真子集有21-1个，非空真子集有2九-251)个.4 .集合的基本运算运算自然语言符号语言并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合AUB=xIX64或Bs>交集由属于集合/且属于集合B的所有元素组成的集合AB=xXE4且B)补集由全集U中不属于集合4的所有元素组成的集合QuA=xxEU且XEA类型I：集合的概念、集合中元素的性质例1设集合4=2,2-+2,l-,若44则Q的值为答案：2或-3解析：4这个元素在集合4中，故依次考虑4中的每一个待定元素为4即可，因为44,所以M-Q+2=4或I-Q=4,解得：。=2或1或3；注意还需代回去检验集合A是否满足元素互异，当Q=2时，A=2f4,-1),满足题意；当Q=-I时，l-=2,不满足元素互异，舍去；当q=-3时，4=2,14,4),满足题意；综上所述，Q的值为2或3.反思求出集合中参数的值后，务必检验是否满足集合中元素的互屏性.类型n：根据集合相等求参例2已知集合4=,b,1>B=-1,2,2),若A=8,则a。=()A.1B.i2C.-lD.1或答案：A解析：集合B中只有1个待定元素故先考虑它是集合A中的谁，观察发现只能是1,因为1A,且4=8,所以1B,故a2=，解得：a=±1,求出两个值，还需检验是否满足元素互异，当Q=I时，集合A中有相同元素，舍去，所以Q=-1,此时4=-l,b,1,B=-l,2,1,对比可得b=2,所以卢=(-1)2=L反思根据集合相等求出参数的值，务必检验是否满足集合中元素的互异性.变式已知集合4=xRIX2÷ax÷1=0,=xRIx2÷2xa÷3=0,若4=B,则实数a的取值范围是答案：(一2,2)解析：48都是一元二次方程的解构成的集合，先考虑它们都无解的情况，若A=B=0,则件一以N解得：-2<qv2;U2=2-4(-a+3)<O再考虑A,8不是空集的情形，此时两个一元二次方程应同解，可由韦达定理建立方程求a,若A=B0t设方程/+ax+1=。和/+2x-a+3=O的解分别为与,X2»则首先应有由二:二7:+3)0,解得：心2，其次，由韦达定理，一解得：q=2,满足2;综上所述，实数a的取值范围是(-2,2).反思在分析含参方程的解集时，一定要考虑无解的情况，此时对应集合为空集，且空集是可能满足题意的.类型11L根据集合间的包含关系求参例3若集合A=1,2,3,mfB=2,3,m2,若B£A,则实数m的值为答案：或0解析：集合B中的2,3这两个元素A中已经有了，故只需考虑Tn?这个元素即可，因为BG4且m2eBt所以m2A,故zn?=或rn2=zn,解得：m=-1,!.或0,还需检验是否满足集合中元素互异，经检验，当m=1时，集合A中有相同元素，舍去；当Tn=-1或0时，集合4、B均满足元素互异；所以实数m的值为-1或0.变式集合4=%I%V-1或3,=xax+l0,若BG4则实数Q的取值范围是答案:H，1)解析：要分析A和B的包含关系，应先解B中的不等式x+l0,需讨论Q的正负，当Q=O时，不等式OX+l0无解，所以8=0,满足BEA；当Q>O时，由QX+1O可得-，所以B=(-8，T要分析怎样能使BG4可函数轴来看，注意单独考虑端点燃否重合，BGA的情形如图1,所以一二V-1,解得：0VQV1；a当QVO时，由QX+1O可得-工，所以8=-工，+8),BGA的情形如图2,从而一L3,aLaa故一1v;综上所述，实数的取值范围是一/1).Ll1-L1r1-13-131图1图2总结分析列举法表示的集合间的包含关系，对比两个集合中的元素即可；而对于连续取值的集合间的包含关系，常函数轴分析，需重点关注端点燃否重合；另外，当子集含参时，一定注意讨论子集为空集的情况.类型IV：子集个数例4已知集合4=1,2,3,集合B=(x,y)xA,yAx-y,4,则集合B的子集个数为答案：64解析：分析子集个数，需先分析集合中元素的个数，观察发现X和y各自都只有3种取值，可列表来看，X111222333y123123123-yO121O121O由上表可知集合B中的元素有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个，所以B的子集有26=64个.反思求集合的子集个数，需先分析集合中有几个元素，再代结论即可(见内容提要第3点).类型V：集合的基本运算例5(2022.浙江卷)设集合4=1,2,B=2f4,6,则4UB=()A2B.l,2C.2,4,6)D.l,2,4,6)答案：D解析：求并集，把两个集合的元素合在一起即可，由题意，4UB=1,2,4,6),变式已知集合4=x-2<x<+3),F=xIX2-5%+4>0,若4UB=R,则的取值范围是()A.(8,1)B.(l,3)C.l,3D.3,÷J答案：B解析：/-5x+4>OQ(x-1)(%4)>OQ%V1或%>4,所以B=(-8,I)U(4,+),分析连续取值集合的并集，可函数轴来看，其中端点燃否重合需要重点关注，如图，要使4UB=R,。一2与1,+3与4都不能重合，否则并集中就取不到端点处的元素，所以应有解得：l<<3.反思4UB=%：/或B,对于连续取值的集合的并集，可函数轴分析，尤其需要注意端点.例6(2022新高考I卷)若集合M=xI三<4,N=x3x1,则MnN=()A.xIO%<2B.%IJ%<2)C.xI3%<16D.%IJ%<16)答案：D解析：x<4<=>0x<16,所以M=%IO%V16,3x1<=>x>所以N=xx卦，求连续取值的集合的交集，可函数轴来看，如图，MCN=xx<l.U-T-UxOJ163变式已知集合4=xIX2-%-20,B=x2a<X<2,若4CB=则实数a的取值范围是答案：O,÷解析：x2-x-20<=>(x+l)(x-2)O<>-1X2,所以4=-1,2,接下来分析怎样能使4F=0,先考虑B为。的情形，当B=。时，22,解得：O2,此时满足411B=。；再考虑B非空的情形，此时可函数轴来看，当B0时，首先应有2a<Q2,解得：QVO或Q>2(1)：其次，图形应为图1或图2所示的情形，若为图1,则q2-1,无解；若为图2,则2q2,解得：qL结合(1)可得>2;综上所述，实数的取值范围是0,÷.1t=lxI12。a2-12-122aa2图1图2反思根据交集为空集求参，一定要考虑含参集合本身为空集的情况.例7(2022全国甲卷)设全集U=-2,-1,0,1,2,3,集合4=-1,2,B=%I%2-4x+3=0,则Cu(4UB)=()A.1,3B.0,3C.-2,1D.-2,0答案：D解析：X24x+3=0<=>(x-1)(%3)=0QX=1或3,所以B=1,3,又A=-l,2,所以力UB=-1,1,2,3),接下来求Cu(AUB),只需在全集U中把AUB这部分去掉，取余下部分即可，所以CU(AUB)=-2,0.变式设全集U=R，集合A=xx2-(2m+l)x+m2+n<0,B=x-2<x<1,若集合(CUA)B中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围是答案：(-2,-l)u(-l,0)解析：X2(2m+l)x÷n2+zn<0<=>(x-m)(x-m-l)<0<=>m<x<m+l,所以4=(m,m+1),故CuA=(-8,mum+l,+),再分析CI与B的交集，可函数轴来看，尤其需要关注端点燃在重合，要使(QA)nB中有且仅有1个整数，则可能的情形如图1和图2所示，若为图1,m不能与一1,O重合，否则交集中有2个整数，所以一1租0血+1V1,故1VmV0；若为图2,m不能与一2,-1重合，否则交集中有2个整数，所以一2VmV-IVm+IV0,故2VmV1；综上所述，实数m的取值范围是(2,1)U(1»0).i.1.ux-TI.1.xx2-1m0m+11-2w-I÷101图I图2总结从上面两道题可以看出，分析列举法表示的集合的并集、交集、补集，直接从元素来看即可；而对于连续取值的集合，则常函数轴来分析，且往往需要重点关注端点.类型VLVenn图例8设集合U=l,2,3,4,5,若(C)U(QB)=1，2,3),则/nB=()A.4,5B.3,4,5C.l,2,5)D5答案：A解析：直接由(CtM)U(QB)=U,2,3不易分析4B的情况，可画Venn图来看，如图，(CUA)U(QB)表示在全集U中，把4CB的部分去掉，余下的部分，即(CUA)U(QB)=Cu(AHB)t因为(Ql)U(QB)=1，2,3,所以CU(AnB)=1,2,3),故A8=4,5.反思当集合间的运算较抽象时，不妨画Venn图来分析，往往可使问题明朗化.例9学校举办运动会时，高一1班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，那么只参加游泳一项比赛的有人；同时参加田径和球类比赛的有人.答案：9；3解析：题干的信息较复杂，不妨画出图形，并根据题意把各部分的人数标注出来，如图，图中的15、14、8是参加三项运动各自的总人数，所以只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人；再求同时参加田径和球类比赛的人数，可设为,只需把只参加田径、只参加球类的人数都用工表示，再由共28人参赛来建立方程求工,由图可知只参加田径比赛的有8-3-%=5-%人，只参加球类比赛的有14-3-=11一%人，所以9+(5-)+(ll-%)+3+3+%=28,解得:x=3,故同时参加田径和球类比赛的有3人.总结涉及多个集合关系的文字题目中，通过画图可将文字信