第4节三角函数的图象与性质公开课教案教学设计课件资料.docx

第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sinx,0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,0),图1)，(兀，0),佟,(2,0).余弦函数y=cosx,x0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,1),住0),(,一1),作,0),(2,1).2 .正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中Z)函数y=sinXy=cosXy=tanx图象J.SliA-51pKii邓定义域RR1xER,且XWE+己值域LI，11LI，11R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2ky2÷2-2T一兀,2兀1(f'±)递减区间Tr3兀2+,2E+k叁工_2E,2E+l无对称中心(E,0)(far+10)修。)对称轴方程,.x=o÷2X=k无常用结论1 .正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2 .三角函数中奇函数一般可化为y=4sin3X或y=Atan的形式，偶函数一般可化为y=Acosx+b的形式.3 .对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(也一去E+?(AZ)内为增函数.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打“J”或“X”)(1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y=依inx+l,xR,则y的最大值为A+l.()(4)y=sinx是偶函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)解析(1)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y=tanX在每一个区间也一E+J(AZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.当k>0时，ymax=L+h当KO时，ymax=-Z+l.2 .(2022福州质检)下列函数中，周期为可，且在区间停兀)上单调递增的是()AJ=ISinXlB.y=tan2xCJ=CoS2xDJ=Sin2x答案C解析对于A,y=sinx的周期为兀，在(去兀)上单调递减，不合要求；对于B,y=tan2x的周期为看在像刻和信兀)上单调递增，不合要求；对于C,y=cos2x的周期为兀，在色，Tr)上单调递增，符合要求;对于D,y=sin2x的周期为兀，在售，兀）上不单调，不合要求.3 .（2022青岛调研）函数），=3tan（2t+；）的定义域是（）A.xxE+,Zb"tx-1,AzC.卜x+,ZrZD.xx,Az答案CTTTr解析要使函数有意义，则2x+*&+F,kez,kjr即xN5+d,kGZ,Z0所以函数的定义域为“x÷,k三Z.YY4 .（2021全国乙卷涵数y（x）=sin+cosQ的最小正周期和最大值分别是（）A,3和啦B.3冗和2C.6和啦D.6和2答案CXY解析因为函数U)=sin+cosQ=M也.x2x)Y2g-sn2cos3Jr(.XX.)21sinWCOS十COSWSInWJ=啦Sin停+；),所以函数7U)的最小正周期T=午=6,最大值为，35.（多选）（2022广州一模）已知函数於）=sin2x+2cos2x,则（）Ay（X）的最大值为3B段）的图象关于直线X=W对称CU）的图象关于点（WI）对称TTDA）在一7无上单调递增答案BC解析TU）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin2x+j+1,则/U）的最大值为啦+1,故A错误；周=而抽（2号+g+1=2+1,Tr则段）的图象关于直线X=W对称，故B正确；乂一方）=啦sin2x（骷；+1=1,则/）的图象关于点（一去1）对称，故C正确；,兀兀I13l,兀兀兀rr兀兀1I当一不工时，2x+ae一不7，故当2x+we一不2ysP-reL-4,瓦!时,函数单调递增；当法+铝区引，即x.q时，函数单调递减，故D错误.6.cos23o,sin68o,CoS97。的大小关系是.答案sin68o>cos23o>cos97°解析sin680=cos22°,又y=cosx在0。，180。上是减函数，sin68o>cos23o>cos97°.考点突破题型剖析J考点一二角函数的正义域和值域1 x）=sin3xcosXsinxcos3x的最大值为（）AqB."C乎Dl答案B解析,')=sin3xcosxsinxcos3x=sinXCoSx(sin2-cos2)=sinZrcos2x=一sin4x,.*.(x)=sin3xcos-sinxcos3x的最大值为2.函数y=lg(sinx)+、ycosx的定义域为.答案2<x2+,ZZ;sinx>O,解析要使函数有意义，贝U1COSx-20,sinx>0,即cosx2i2k<x<+2k,ArZ,解付-÷2x+2,Z,TT所以2EVxSg+2E(AEZ),所以函数的定义域为卜2%nVW2E+/z;.3 .当x芝!时，函数y=3sinx2cos2的值域为.71答案卜，2解析因为x看，y,所以sinx*1.又y=3-sin-2cos2x=3sin-2(1sin2x)2=2sinX)+,所以当SinX=W时，ymin=g,当SinX=-T或Sin戈=1时，y11ax=2.即函数的值域为4 .函数y=sin-cosx÷sinXCoSx的值域为,答案解析设f=sin-cos3,贝Ur2=sin2x÷cos2-2sincosx,1z2sinxcosx=2-,且一也WfW啦.-11Jy=-'+，+/=02÷l当f=l时，Nmax=I；当，=也时，ynin=-2.函数的值域为VT,1.感悟提升1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：形如y=0sinx+bcos÷c的三角函数化为y=Asin（x÷）+c的形式，再求值域（最值）；形如y=sin2+Asinx+c的三角函数，可先设SinX=/,化为关于，的二次函数求值域（最值）；（3）形如=。5也;：0§工+伙0访壮85工）+（:的三角函数，可先设f=sinx±cosX,化为关于f的二次函数求值域（最值）.,考点二三角函数的周期性、奇偶性、对那性例1（1）（多选）（2022临沂调研）下列函数中，最小正周期为兀的是（）BJ=ICoS xDJ=A.y=cos2xCJ=COS(2x+聿答案ABC解析A中，y=cos2x=cos2x,最小正周期为兀；B中，由图象知y=cosx的最小正周期为;C中，y=cos(2x+1)的最小正周期F2兀FfD中，y=tan(lr-T的最小正周期T=E(2021抚顺调研)已知函数危尸2sinQ+0+e甘，却是偶函数，则夕的值为.答案I解析,函数危)为偶函数,0+楙=+界£Z).r八又e-,A,9+尹宏解得O=经检验符合题意.(3)已知函数TU)=COS(S+s)(g>0,3<的最小正周期为4,且VxR有外方周成立，则外)图象的对称中心是,对称轴方程是.答案+y,0),ZZx=2k+f女Z解析由於)=c0s(cux+9)的最小正周期为4兀，得a?=/,因为危)周恒成立，所以於)max=局，即TX号+°=2E(ZZ),又9号所以9=一/ITT令d=+E("eZ)，得X=可+2E(ZZ),故段)图象的对称中心为+y,0),AZ.171令，Ld=E(ZeZ),JF得=2Z+(女Z),故於)图象的对称轴方程是x=2E+g,AZ.感悟提升(1)三角函数周期的一般求法公式法；不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为yU)=Asin(5+9)(或Tto=Acos(s+¢)形式的函数，如果求x)的对称轴，只需令3x+8=5+k(ZWZ)(或令s+夕=E(Z£Z),求X即可；如果求於)的对称中心的横坐标，只需令3+9=E(&Z)(或令S+9=，+而(Z),求X即可.(3)对于可化为yU)=Atan(s+9)形式的函数，如果求兀0的对称中心的横坐标，jr只需令x+=y(Z),求X即可.三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=ASin(GX+9)中代入R=0,若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(x+g)为奇函数，则S=&(%eZ),若y=Asin(cox+p)为偶函数，Tl则s=+E(AZ).训练1(1)(2021北京卷)已知函数段)=cosxcos2x,则该函数为()A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为29C.奇函数，最大值为&O9D.偶函数，最大值为三O答案D解析函数负的定义域为R,且八-x）=Ax）,则yU）为偶函数U）=cos-cos2%2=CosX（2cos2-1）=2cos2÷cosx+1=2（CoS1一J+*,9又CoSXW1,1,故火幻的最大值为豪（2）（多选）（2021大连模拟）已知函数火X）=SinXCOS+（12sin2x）,则有关函数7U）的说法正确的是（）A7（x）的图象关于点（石，。）对称BU）的最小正周期为兀CTu）的图象关于直线X=2对称DU）的最大值为小答案AB解析由题可知危）=；Sin2x+坐COS2x=sin（2x+§.当X=1时，2x÷=,故函数段）的图象关于点,Ob寸称，故A正确；函数/U）的最小正周期丁=§=兀，故B正确；当X=*时，2x+=y,所以函数«¥）的图象不关于直线X=5对称，故C错误；函数段）的最大值为1,故D错误.J考息=角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间、比较大小例2设函数段）=cos停一Zr）,则段）在,T上的单调递减区间是（）"A.0,不B.0,W c 2jD. 6, 2.答案D解析由已知段）=cos（2x一5），227W2x年W2E+,Z,