数列教案.docx

第2讲等差数列及其前项和【2013年高考会这样考】1 .考查运用根本量法求解等差数列的根本量问题.2 .考查等差数列的性质、前项和公式及综合应用.【复习指导】1 .掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前项和公式等.2 .掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法.根底梳理1 .等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于回二仝赏数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母4表示.2 .等差数列的通项公式假设等差数列&的首项是公差是&那么其通项公式为&=&+(-Dd3 .等差中项且+b如果力=F那么叫做a与6的等差中项.4 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：&=%+公一勿)d5,7Nx).假设为等差数列，且加=o+q,那么&+”=丛+&(%,n,p,<7N*).假设EJ是等差数列，公差为&那么小,&+e,国+2“，(，mV)是公差为则的等差数列.(4)数列£,SilSbi,SM-Wt,也是等差数列.Wl=(2/71)at,.(6)假设为偶数，那么SLSL室假设为奇数，那么S奇一Ss=a中(中间项).5 .等差数列的前项和公式假设首项金和末项那么首=,或等差数列&的首项是d，公差是4那么其前项和公式为Sn=na-r-一彳一d.6 .等差数列的前项和公式与函数的关系$=1+(&-数列4是等差数列的充要条件是S=4/+5/7(48为常数).7 .最值问题在等差数列a中，句>0，d<0,那么差存在最大值,假设aV0,d>0,那么差存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导笠差数列的前，项和公式工.5=团+念+&+区,=.÷-!±二二±.?±得工&亍Tt¾两个技巧三个或四个数组成笠差数列的二类问题夏普王设元.假设直数个数成笠差数列且和为.定值时？亘设为二.，且二2&.以二.3，目土心且±2&.二二.假设偶数个数成笠差数列且和为定值时.，可.设为D二窕，且二九旦±&盘±3九二工.其余各项要依据笠差数列的定义进任对称设元J四种方法笠差数列的判断方法一定义法：对王”会2的任意自然数，验证自二盟!为何二常数“.(2)等差中项法：验证2&一|=a+&-2(23,£I(T)都成立；(3)通项公式法：验证a0=+o；前项和公式法：验证Sn=AnBn.迂卮两种一方法区能用来判断是查为笠差数列.，血丕能用来证明笠差数列入课堂自测1 .(人教A版教材习题改编)a为等差数列，%+金=12,那么全等于().,4B.5C.6D.7解析选+徐=2冼，a=6.答案C2 .设数列&是等差数列，其前项和为S,假设a=2且&=30,那么S等于().A.31B.32C.33D.34解析由可得a÷5=2, .5a1÷10=30,f 26国=T 解得Vd=8×7，&=8&+ 72 d=32.答案 B3 .(2011江西)数列a的前项和S满足：S+S=S1+s,且aa11)=().A.1B.9C.10D.55解析由S+S=S+a,得S+S=So=&D=So-S-S-£L1.答案A4 .(2012杭州)设S是等差数列W的前项和，a=3,a=ll,那么S等于().A.13B.35C.49D.637aI&解析Va1+a7=÷a-3+ll=14,.S=初尸一=49.答案C5.在等差数列a中，a3=lt全=在+6,那么a=_.解析设公差为d那么会一色=3仁6,a=a3+3d=7+6=13.答案13考向一等差数列根本量的计算【例1】“2011福建)在等差数列&中，囱=1,&=3.求数列&的通项公式；假设数列&的前项和£=35,求女的值.审题视点第(1)问，求公差雄第(2)问，由(1)求S,列方程可求上解(1)设等差数列(为的公差为&那么a=8+(-Dd由&=1,&=-3可得l+2d=-3.解得"=-2.从而，&=1+(-1)X(2)=32.(2)由(1)可知a=3-21.LII/?1+322所以SrI=2=2nn.进而由Sk=-35可得2k#=35.即发一2«35=0,解得A=7或A=-5.又AN*,故A=7为所求.方法总结等差数列的通项公式及前项和公式中,共涉及五个量，知三可求二，如果两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.表达了用方程思想解决问题的方法.【训练1】(2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么第5节的容积为升.考向二等差数列的判定或证明例2A数歹IJ为的前项和为S且满足品+2£S-I=O(-2),c?i=.(1)求证：是等差数列；审题视点(1)化简所给式子，然后利用定义证明.根据S与a之间关系求为.(1)证明&=S-Si(22),又a=-2SS1f,* Sn-L Sn=2SnSn-ifSW0,*"rN=2(22).由等差数列的定义知得是吗=B为首项，以2为公差的等差数列方法总结等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前项和公式法主要适合在选择题中简单判断.【训练2】数列a的前项和S是的二次函数，且a=2,&=2,S=6.求S;证明：数列a是等差数列.考向三等差数列前项和的最值【例3】A设等差数列&满足&=5,a10=-9.求a的通项公式：求晶的前项和S及使得S最大的序号的值.审题视点第(1)问：列方程组求功与&第(2)问：由(1)写出前项和公式，利用函数思想解决.解(D由&=金+(-1)d及a=5,&0=-9得a + 2d=5, a+9c= 9»可解得4=9, d= 12.数列af的通项公式为an=2n.,.,.nn1,(2)由(1)知，Sn=na+d=1On-n.因为S=一(“-5)2+25,所以当=5时，S取得最大值.方法总结求等差数列前项和的最值,常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值.(2)利用等差数列的前项和S=M?+胡(4、8为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】在等差数列&中，a1=20,前项和为S,且SO=S5,求当取何值时，S取得最大值，并求出它的最大值.考向四等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前项和为S,前6项和为36,S=324,最后6项的和为18S>6),求数列的项数n.审题视点在等差数列4中，假设z+7=0+g,那么&+a=&+&(/，",p,QWM)用此性质可优化解题过程.解由题意可知团+愚+a=364+a-】+4-2+&-5=180+得(&+&)+(a+a-)+(a+&-5)=6(囱+&)=216.*.a+aflSl>=324,18/7=324.结合在方塞助此题的解题关键是将性质/=+<-/+4二4+备与前项和公式S='一起，采用整体思想，简化解题过程.【训练4】(1)设数列4的首项a=-7,且满足=ap÷2(N¼),那么ai÷a4-a11=(2)等差数列a中，&+包+公=-24,as÷a19÷=78,那么此数列前20项和等于【试一试】在正整数数列&中，前项和S满足：$=4(a+2)2.O求证：&为等差数列.假设仇=；品一30.求数列4的前项和的最小值.尝试解答(1)证明：当=1时，S=d=!(国+2)2,O(st2)2=0,*Qi=2.当22时，S1=:(4+2)2J(a-+2)OO3f-Qir-1=4,为为等差数列.(2)由(1)知:=/+(-1)4=4-2,131由30=2一310得7bn)的前15项之和最小,且最小值为一225.等比数列一、根底知识1 .定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.色包=4(夕为不等于零的常数)凡2 .通项公式*=64”",推广形式=,q"F,变式q="/5>WN*)nal(q=1)3 .前n项和S“=<q(IT)=%-a/(”°且。WD-q-q注:应用前n项和公式时,一定要区分9=1与qW1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4 .等比中项:假设a、b、C成等比数列,那么b是a、C的等比中项,且b=±疝5 .在等比数列M中有如下性质：(1)假设n+n=p+q,n,n,p,qeN*则am-a11ap'aq(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续假设干项的和也构成等比数列.6 .证明数列为等比数列的方法：定义法:假设手=q(11N*)=数列册为等比数列等比中项法:假设=凡q+2(wN*且川“2Ho)=数列%为等比数列(3)通项法:假设=cq"(c国均是不为0的常数，刀N*)o数歹j,J为等比数列(4)前n项和法:假设5“=Aqn-A(Aq为常数，且4。OMWl)O数列氏为等比数列7 .解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对q=1和q1讨论当4>0应>1或q<0,0<4<1时,等比数列凡为递增数列(an+l-an=alqnl(q-)a<0,"1或>0,0<夕<1时,等比数列%为递减数列J二、范例剖析1 .关于根本公式的运用例L等比数列。“中，a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an。解答略。变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少？例2.数列为等差数列，公差do,4的局部项组成以下数列：ak，cikj，ak，恰为等比数列，其中k=l,k2=5,k3=17,求k+k2+k3+kn。解答略。例3.数列a,J,h的通项公式分别是%=2也=3"+2,它们公共项由小到大排列的数列是g,写出cll的前5项证明%是等比数列思维分析:容易证明g是等比数列,由定义式,只需找出%中任意相邻两项关系即可.解,的前5项为:8、32128、512、2048(2)设a,=bp=C”,.czi=2"=3p+2,而=22f=2(3p+2)=3(2p+1)+1不在仇用又2=42团=4(30+2)=3(4p+2)+2,.%?在加冲6"+2是c冲的项即C”+1项%+=4%,故g是等比数列例4.个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米？思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出明,再结合数列相关性质解题。解：球