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时间序列分析讲义TimeSeriesAnalysis吉林大学商学院刘金全时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析"，以及Box和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。本课程将介绍时间序列分析的根本方法，预计讲授时间为54学时。本课程将布置一定的作业，并且进行笔试。主要参考书目：1 Box,GE.P.andJenkins,G.M.,TimeSeriesAnalysis:ForecastingandControl,HoldenDay,1976.2 EndersW.,AppliedEconometricTimeSeries,JohnWiley&Sons,Inc.,1995.3 Mill,T.C.,TheEconometricModeHingofFinancialTimeSeries,secondedition,CambridgeUniversityPress,1999.4李子奈，叶阿忠，高等计量经济学，清华大学出版社.2000年.5 Hargreaves,C.P.,NonstationaryTimeSeriesAnalysisandCointegration,OxfordUniversityPress,1994.6 Kim.C.J.andNelson,C.R.,State-SpaceModelswithRegimeSwitching:ClassicalandGibbs-SamplingApproacheswithApplications.TheMITPress,1999.7 Banerjee,A.,Dolado,J.J.andHendry,D.E,Cointegration,ErrorCorrectionandtheEconomicAnalysisofNon-StationaryData,OxfordUniversityPress,1993.8 Hendry,D.F.,DynamicEconometrics,OxfordUniversityPress,1995.9 Barnett,W.A.,Kinnan,A.P.andSalmon,M.,eds.,NonlinearDynamicsandEconomics,CambridgeUniversityPress,1996.10 Harvey,A.C.,ForecastingStructuralTimeSeriesModelsandtheKalmanFilter,CambridgeUniversityPress,1989.第一章差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的根底，也是也是分析时间序列动态属性的根本方法。经济或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程求解问题，因此确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。§10.1 一阶差分方程假设利用变量/表示随着时间变量f变化的某种事件的属性或者结构，那么K便是在时间，可以观测到的数据。假设)，,受到前期取值y一和其他外生变量吗的影响，满足下述方程：M=%+M+吗(Ll)在上述方程当中，由于H仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量叼是确定性变量，那么此方程是确定性差分方程；如果变量吗是随机变量，那么此方程是随机差分方程。下面我们假设明是确定性变量。例Ll货币需求函数假设实际货币余额、实际收入、银行才储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为/,、3和%，那么可以估计出美国货币需求函数为：m,=0.27+0.72wz-1+0.19。-0.045为0.019%上述方程便是关于W的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。10.1.1 分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：f=0：yQ=0+1Ki+，=1：M=Oo+必先+”t=t：M=Oo+么+叱依次进行叠代可以得到：M=。()+必SO+。IyT+W0)+W=o(l+1)+()2+iw0+wiy2=Oo(1+必+12)+l3y.+行吟+,w1+必WOyl =oi +K ÷ t必Wir=O/=0(1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(LI)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将)，,表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出K对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。10.1.2 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamicmultiplier)在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如W0的变化对t阶段以后的)，,的影响。假设初始值JL1和明，,吗不受到影响，那么有：(1.3)类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到:(1.4)奢=OWf上述乘子仅仅依赖参数由和时间间隔J,并不依赖观测值的具体时间阶段，这点在任何差分方程中都是适用的。例L2货币需求的收入乘子在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：M+2.3吗二,2-)I1wlIl,It利用差分方程解的具体系数，可以得到：L=O.I9,必=0.72叫从而可以得到二阶乘子为：=O.098注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%,将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%,其弹性是比拟微弱的。定义1.1在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为月相对于外生扰动叼的反响函数：yt.i.1.j=F=M，7=0J(1.5)wf显然上述反响函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数外的取值。(1)当0<仇VI时，反响函数是单调收敛的；(2)当-IV必<0时，反响函数是震荡收敛的；(3)当必>1时，反响函数是单调扩张的；(4)当次VT时,反响函数是震荡扩张的；可以归纳描述反响函数对于参数的依赖性：当I血|<1时，反响函数是收敛的：当I必|>1时，反响函数是发散的。一个特殊情形是仇二1的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即叫的一个单位变化将导致其后任何时间的一个单位变化：ry+j1.八i=三i,=o,wt为了分析乘子的持久作用，假设时间序列兄的现值贴现系数为夕，那么未来所有时间的尢流贴现到现在的总值为：iyt(i6)J=O如果叫发生一个单位的变化，而M,s>t不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：y,.i1改ZPjyg)IM=EBj导=EBW=丁高,<；=0J=OOWf；=0-p上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果叫发生一个单位的变化，而且其后的M,s>r也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于。+力时刻的H+,的影响乘数是：*+沪+n+W+肝(1.7)e吗a吗+wt+j当I血IVl时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：工分加4%+八i.GIim(1-F+)=(1.8)/T88吗dwl+wt+j-例1.3货币需求的长期收入弹性在例LI中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：也=也X空=92_=o.68dltdwtdlt1-0.72这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%,这是收入对于货币需求反响的持久影响效果。如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于月以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为：(1.9)£孙+,1J=Owl-§10.2 阶差分方程如果在方程当中允许K依赖它的阶前期值和输入变量，那么可以得到下述阶线性差分方程（将常数项归纳到外生变量当中）：M=yt-+yt-2+Mr,+吗（LIo）为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：t=F,.x+Vz（IH）其中：l%.p-%1OO-OOO=,F=O1O.OO,%=OOOO.1OO其实在方程（LU）所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程（1.10）,而其余方程均是定义方程：y,-j=yl-j»=,2,p将阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于可以进行比拟方面的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：当=产川当+户均+尸1匕+尸匕一+匕（1.12）利用力（，表示矩阵尸中第i行、第/列元素，那么方程系统（1.12）中的第一个方程可以表示为：%=#尸Ki÷i2+K2+戊川3#；）÷c°%+卅）%T÷%（1.13）需要注意，在P阶差分方程的解中需要知道P个初值：，几,），以及从时刻。开始时的所有外生变量的当前和历史数据：（明,”,叱）。由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程表示为：当+j=尸川&T+尸）匕+/Z匕+1+尸匕+j+%（L14）类似地，表示成为单方程形式：M+j=/i?+，）Mt÷1V+°"+总旬Wp÷力Y）吗+力产）“+1+/11°”+jT+WHj利用上述表达式，可以得到阶差分方程的动态反响乘子为：1.j=粤2=f7=0Jw,例1.4在阶差分方程中，可以得到一次乘子为：1.=1=11=fII=OWf二次乘子为：1.I="力f）=品=+-owt虽然可以进一步通过跌代的方法求出更高阶的反响乘子，但是利用矩阵特征根表示那么更为方便。矩阵F的特征根是满足下述的几值：F-p=O(1.16)例1.5在二阶差分方程当中，特征方程为：(女一。21244=2-Z-=01-Zt具体可以求解出两个特征根为：4=5(次+於+4