斐波那契数列.docx

以斐波那契数列为背景的试题探究安徽省太和县太和中学岳峻qq:1172933768邮箱：一、斐波那契数列斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作算盘书中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假设一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列4满足：4=1,=1,且4=1,。2=1，4.2+41=。(23).这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.事实上，斐波那契数列%的通项公式为4L乎项公式中含有无理数，但它的每一项又都不是无理数.如何在高考试题中考查斐波那契数列呢？nfl-5Y,其神奇之处在于通了这样一个问以后每个月生 三个月生产一 多少对兔子？第第第第第第 -二、以斐波那契数列为背景命制试题(一)以斐波那契数列的概念为背景命制试题【例Il意大利数学家斐波那契在1202年出版的一书里提出题：一对兔子被饲养到第二个月进入成年,第三个月生产一对小兔,产一对小兔，所生产的小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第对小兔，以后每个月生产一对小兔，那么，这样下去到年底，应有此问题的程序框图如下，空白处应填写()Q=SQ=SS=QS=FA.F=SB,S=FC,F=SD,Q=S【解析】斐波那契数列总有。=。用+4吗=1,。,=1,根据程序框图分析可知，正确答案为B.【变式1】如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于.【解析】从第一行开始，各行的实心圆点的个数依次为1,1,2,3,5,8,显然符合斐波那契数列的定义，第15行的实心圆点个数为第14个斐波那契数377.【例2】(2004北京市中学生数学竞赛)设,/是方程f一工一1=0的两个根，数列q中满足心上1(A2=i,2,3,证明：对任意正整数，都有4+2=。,川+4.a-【解析】因为,是方程-X-I=O的2个根，那么+=l,明二一1,因此"2_y=(a-v)(an+,-n)-a(an-n)=(。向一山)+(律一月”)，a-a*' - 0的 an-na-a-，即 4+2 =4+1+4【例3】(2009福建)5位学生围成一圈依序循环报数，规定：(1)第1位学生首次报出的数为1,第2位学生首次报出的数也为1,之后每位学生所报出的数都是前2位学生报出的数之和.(2)假设报出的数为3的倍数，那么报该数的学生,需拍手一次.学生甲第1个报数，当5位学生依序循环报到第100个数时，学生甲拍手的总次数为.【解析】设报到第个数为那么q=1,4=l,42+,=a"("3).归纳发现4,为3的倍数.下面用数学归纳法证明：(1)当=1时，4=3,命题成立；(2)假设=Z时，为3的倍数，那么当=A:+1时，a4k+4=04jt+2+°4«+3=44%+4«+l+°4k+l+4«+2=+nl4k+l+(°4人+“软+1)=24人+u+l也是3的倍数.由(1)(2)可知，包为3的倍数.依题意，学生甲报的数为%+(0i19),这些数中是3的倍数有46，/6，。76，。96，故学生甲拍手的总次数为4.(二)以斐波那契数列的性质为背景命制试题例4意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列2222数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么+%-+*是斐波那契数列中的第项.¾15【解析】斐波那契数列总有q+2=%+4,那么a；=a2a，G=。2（%一%）=a2a3-a2a，W=一%）=%4-a2a3，9999999a2OI5=。2015（2016一”2014）=20152016一”2014“2015'a+%+a3+,+a2O5=20152016»2222所以4+%-+%+%o=.a2O52222故J+%+%-+ts工是斐波那契数列中的第2016项.。2015【性质1】斐波那契数列的前项的平方和：+=+p即d=*=1【例5】斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作算盘书中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列.那么4+/+%+%（H5是斐波那契数列中的第项.解析由q=%,a3=Cl4-H2,a5afia41*%OI5=2016_“2014，可得：4+4+4+M5=2o6故q+/+/+%H5是斐波那契数列中的第2016项.【性质2】斐波那契数列的奇数项之和：+2+%+%1=%,，即£%7=。2”1=1【例6】著名的斐波那契数列4：1,1,2,3,5,8,13,21,34,满足q=生=I,1?=可川+%那么1+2+/+4+。刈是斐波那契数列中的第项.解析由生=%一。，a4-a5a3,，2OI4=2OI56f2OI3,可得：生+包+4+2014=%015-L故1+。2+4+4+。刈4是斐波那契数歹IJ中的第2015项.【性质3】斐波那契数列的偶数项之和:/+%+%+4”=出用-1，即c%=+-1I=I【例7】同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.”斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列q中，4=1,电=1，4-2+4-1=4(之3).假设fl2016=a,那么数列att的前2014项的和为.解析由4=4,电=%-q，a3-aa2,a4=a5a3f，14=1513可得：ai+a2+a3+<72014=4+5-2=i6-1=-1故数列%的前2014项的和为4-1.【性质4】斐波那契数列的前项之和Szj=G+/+4+.=4+21，即q=4"+2-i/=1【性质5】连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即+A-j-A=(w2)【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式4+rt+1=%的变形4=%+2一%或4+1=4+2一。”进行裂项，从而到达相消求和的目的【例8】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.(1)某学生发现以下特征：aa4-a2a3=1,a2a5-a3a4=-1,a3a6-a4a5=1,a4a1-a5a6=-1,由此可归纳出一个结论？能否给出证明？证明：点=%+(-厂【解析】(1)q%-.4+2=(T)R证明如下:当=1时，qq-生生=L显然成立.假设当=%时，44+3(T)I，即4+4+2=4M1+3一(一1厂,那么当=A:+1时，%+l%+4-+2+3=ak+ak+4-（4+%+l）%+3=%+l%+41%+l4+3一%+3=ak+(¾+4ak+3)4%+3=ak+ak+2akak+3二44+3-(T)I_4%+3=(T)“叫T这就是说，当=2+1时等式成立.根据和，可知等式对任意正整数都成立成立.(2)当=1时，左=W=I,右46+(T)I=I，显然成立.假设当:=Z时，l=A+2+(-l)即M*÷2=÷-(-1那么当=A:+1时，W+2=%3+%J=%+为M+2=-(-i)a+%l%2=。：+1+%+14+2-(一I)A=4+14+3-(-1)人=4+l4+3+(-1)''这就是说，当=&+1时等式成立.根据和，可知等式对任意正整数都成立成立.【例9】函数f(x)满足/(+1)+；"1)=I"N").假设不等式JJ一(h+1)-（三）M对任意的n恒成立，那么M的最小值是.【解析】斐波那契数列4满足：4=1,生=lM,+(T=那么心=。42+(-1)二因为/=；=&J(2)="J(3)=旦,加也(-If1an+3an+2,334an+2所以/Q+l)-(l)=吐一=%+2'+1%+3。+3an+2an+3an+2而I=J-=-*4+2w46故只需M5+1)-(")LX=%即M的最小值是土【探究】斐波那契数列中，还有许多性质，如：连续两项斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即+6fn+12=a2,j+1；相间两项斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即为/4；=%,52);连续三项斐波那契数后两项的平方和与第一项的平方之差仍是斐波那契数，即a4+an。一1=%(，2)；下标为次的前n项斐波那契数之和满足%+4+%”=g(%,+2-1).【例10意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称那契数列”.某学生在自主学习了杨辉三角之后，发现它契数列,以下特征：C：=1=i,C10=I=2,C2+C11=2=a3,Cf+C=3=,C：+C；+C；=5=&，C；+C+C；=8=a6，都等于它C：+C；+C：+C；=13=%C+C：+C；+C：=21=g，你可归纳出什么结论？请给以证明.Cl+C2+t3+cf【解析】勺=(3C1÷<2+ct÷÷C.2数学归纳法证明如下：n = 2m)(mN*).(n = 2LI)当二1、2时，结论显然成立.假设当=攵-1次时，结论成立，讨论攵为奇数的时候,-lak=C-I+G-2+。；一3+CNI,6fI-I=。；_2+Ck3+Cl+CJi2% =4+%2 /那么当=A+1时,<-l-l1、=c3+(c3+cL)+(cL+*)+¾÷cyV22k-l(HI)j=cl,÷<,+ct2÷÷C=c÷ct1÷2÷÷CJ.÷122(÷1),=十C("h+C(z卜3+,+。(岛-2这说明Z为奇数的时候，结论成立；同理可证女为偶数的时候，结论也成立.这就是说，当=4+1时等式成立.根据和，可知等式对任意正整数都成立成立.(三)以斐波那契数列的模型为背景命制试题1.攀爬楼梯问题【例11】小学生甲玩耍上楼梯的游戏：建筑物有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？【