三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（解析版）.docx
三角形中的重要模型特殊三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；己知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论;遇高线需分高在内和外两类讨论：中线把等腰周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A,3两点是定点，找一点C构成等腰448CA>方法：两圆一线具体图解：当AB=AC时，以点A为圆心，A3长为半径作。A,点C在C）A上（8,C除外）当AB=BC时，以点8为圆心，AB长为半径作。8,点C在。B上（A,E除外）当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上（。除外）例1.（2023春四川成都八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是机，若加，满足w-3+（i-5）2=0,那么它的周长是（）A.11B.13C.11或13D.11或15【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求加、的值，再根据加、分别作为等腰三角形的腰，分类求解.【详解】解：,w-3+（11-5）2=0,n-30,（i-5）2>0,"23=0,/?5=0,解得：6=3,/7=5,当m=3作腰时，三边为3,3,5,符合三边关系定理，周长为：3+3+5=11,当zl=5作腰时，三边为3,5,5,符合三边关系定理，周长为：3+5+5=13,故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求?、的值，再根据机或作为腰，分类求解.例2.（2023春黑龙江佳木斯八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm,且一边长是4cm,则它的腰长为（）A.4cmB.7cmC.4cm或7cmD.全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可.【详解】解：当4cm为腰长时，则底边长为18-24=10cm,04+4<10,不符合题意；团4Cm为底边长，EI等腰三角形的腰长为：（18-4）=7cm;故选B.【点睹】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系.解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形.例3.（2023春四川达州,八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（）A.80oB.80。或20。C.80°或30。D.20°【答案】B【分析】根据三角形的内角和为180°,进行分类讨论即可【详解】解：当底角为80。时，顶角=180°-80。、2=20。，当顶角为80。时，顶角度数=80。，综上：顶角度数为80。或20。；故选：B.【点睛】本题考查了三角形的内角和为180。，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容.例3.（2023四川广安八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为100。，则它的底角为（）A.550B.80oC.55。或80。D.以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的个外角等于100。，则等腰三角形的个内角为80。，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论.【详解】等腰三角形的一个外角等于100。，13等腰三角形的一个内角为80。，当80。为顶角时，其他两角都为50。、50°,当80。为底角时，其他两角为80。、20°,所以等腰三角形的底角可以是50。，也可以是80。.故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错.例4.（2023四川绵阳八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70。，则等腰三角形的顶角度数为.【答案】20。或160。【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解.A【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC,NAa>=70o,CD为高,即NAZ）C=90。，DBC此时ZA+ZACD+ZADC=180o,0ZA=180o-90o-70o=20°,若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC,NACz）=70o,CD为高,即NAZ）C=90。，此时NAAC=+NACo=90。+70。=160°,综上，等腰三角形的顶角的度数为20。或160。.故答案为：20。或160°.【点睹】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论.例5.（2023山东滨州八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点.如图，在6行x5列的长方形网格中有两个格点A、B,连接A8,在网格中再找一个格点&使得.4BC是等腰直角三角形，则满足条件的格点【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰直角ABC底边；AB为等腰直角ABC其中的一条腰.【详解】如图：分情况讨论：48为等腰直角ABC底边时，符合条件的格点C点有2个；AB为等腰直角其中的条腰时，符合条件的格点C点有3个.故共有5个点，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.例6.（2023北京八年级期中）R548C中，N84C=90。，AB=AC=I,以AC为一边.在A8C外部作等腰直角三角形ACD,则线段8D的长为.【答案】4或2百或加.【分析】根据题意分类讨论，Nc40=90°,NA8=90o,NADC=90。，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可.【详解】解：如图，当Ne4。=90。时，NBAC=90。，AB=AC=2,ACQ是等腰直角三角形，AC=AD=AB=2fBAD=BAC+CAD=0o,:.BD=AB+AD=2+2=4；如图，当NAeD=90。时，过点。作。石_LBC,交BC的延长线于点E,NBAC=90。，AB=AC=2tACD,AABC是等腰直角三角形，.CD=AC=AB=2,ZDC石=180。-ZAcC)-ZACB=45。，又OEJ_BC,哂OEC是等腰直角三角形，.OE=CE,在RtZXOfC中，DC2=CE2+DE2=2DE2,DE=DC=2,2在RLABC中，6C=Jab?+AC2=20，在RLBDE中,BD=QBE'DE?=（2向0+（何=25;如图，当NAZ）C=90。时，ZfiAC=90o,AB=AC=2ACD,.WC是等腰直角三角形，：.CD=AD=显AC=近,2在放ABC中，BC=4AB1+AC2=22,在RlBDC中,BD=+BC?=«2宿+（何=如综上所述，BO的长为：4或2有或Ji6.故答案为：4或2有或Jnr【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.例7.（2023福建南平八年级校考期中）已知MBC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为IMBC的关于点B的二分割线.如图1,R也ABC中，显然直线BO是0A5C的关于点8的二分割线.在图2的BABC中，a4C=110o,若直线BD是0A8C的关于点B的二分割线，则回CQB的度数是.【答案】40。或90。或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解.【详解】解：如图，当团DBC=90°,AO=BO时，直线8。是MBC的关于点8的二分割线,021ABC=11Oo,0DBC=9Oo,mABD=20o,AD=BD,aIM=ILARo=20°,00CDB=0A+0ABD=4Oo；如图，当团80090。，AO=BD时，直线8。是0A8C的关于点B的二分割线，或当0BOC=9（,CZ）=Bo时,直线BD是MBC的关于点B的二分割线，；如图，当A8D=9（,CD=BDHi,直线8。是0A8C的关于点B的二分割线,团IMBC=Il0°,0ABD=9Oo,确。8C=20°,CD=BD,00C=0DBC=2Oo,00BDC=14Oo.综上所述：当团BOC的度数是40。或90。或140。时，直线8。是MBC的关于点8的二分割线.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键.例8.(2023四川成都八年级校考期中)如图,A、B两点的坐标分别为(2,4),(6,0),点P是X轴上一点,且沙郎为等腰三角形，则点P的坐标为.【答案】(2,0)或(-2,0)或(6+4,0)或(6-4,0)【分析】根据等腰三角形的判定，分AB=BP;®AB=AP：AP=BP三种情况求解即可.【详解】®,ABP为等腰三角形，当AB=BP时，如图，团AB="(62)2+(0-4)2=4,BP=4应,团8(6,0),团产(6+4,0)或P(6-4,0);当AB=AP时，如图作ACj于C点，则C(2,0),0AB=AP,国BC=CP,0BC=6-2=4,0CP=4,0P(-2,O).当AP=BP时，如图，作APJ0AP=BP=4,0(2,0).综上所述：点P的坐标为(2,0)或(-2,0)或(6+4,0)或(6-4,0),故答案为：(2,0)或(-2,0)或(6+42,0)或(6-4点,0).【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键.例9.(2023江苏苏州八年级校考期中)如图，中，NACB=90。，AB=5cm,BC=4cm,若点尸从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为/秒(/>0).若点尸在BC上，且满足QA=心，求此时Z的值；（2）若点尸恰好在NABC的角平分线上，求此时Z的值：在运动过程中，当/为何值时，AAC尸为等腰三角形.【答案】（1）等（2）2或4J或;或W或31662425【分析】（I）设PB=RA=cm,则尸C=（4-x）cm,利用勾股定理求出AC=3cm,在RjACP中，依据AC2+PC2=AP2,列方程求解即可得到，的值.（2）如图所示，当点P在4C上时，过P作H）J_AB于O,设PO=PC=Nm,则AP=（3-y）cm,在RLAoP中，依据A犷+尸D2=AP?，列方程求解即可得到,的值.当点P与点8重合时，点P也在NABC的角平分线上，此时，r=等=g.（3）分四种情况：当尸在AB上且AP=CP时，当尸在AB上且AP=CA=3cm时，当尸在AB上且AC=PC时，当尸在BC上且AC=尸C=女m时，分别依据等腰三角形的性质即可得到f的值.【详解】（1）解：如图，设尸4=PA=cm,则尸C=（4-x）cm,ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,.AC=JAB?-BC?=3cm，在RLACp中，由勾股定理得AC2+V=Ap2,25.
