专题5.7 导数中的恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx
专题5.7导致中的恒成立、存在性问题大题专项训练(30道)【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：班级：考号：1) (2022广东高三阶段练习)已知(x)=C1Sinx.若Xe0,211,求诲>“幻的单调区间和极值I(2)若对Vx"2e0.11,x1.<*2,都行&华+>0成立,求实数。的取值范围.【解题思路】直按求导计算即可.<2)将问SS转化为f(M)+域>(x)+x构造新函数g(x)=/CO+2在网上隼调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以.【解答过程】(I)fr'(,x)=ej,(sinx+COSX)=v2sin(x+)e*令/Ct)=。,因为w0,2*得X=智沃=M列入如下：X卜书3JrT(?)7JTT(211,(x)*OO+f(x)T极大值极小伯1所以“外的单调增区间为oTI)和(手2n单皿减区间为管.)“外极大值为，格=9潦，/(x)极小值为/(巧=-专段2) )Xtvx1.rX2O.11),x1物，都有+a>O成立可转化化为:x2x1./(*2)+×2>/(*«)+a×设g(x)=f(X)+ax2.则g(x)在O,j>枚g'(x)=ex(sinx+cosx)+2ax0.在也上忸成立方法一：(含金讨论)设八(X=g'(x)=CX(SinX+CoSX)+2ax0.MJh(O)=1>0.h(11)=-ct+2an0,解得h,(x)=2(excosx+a),(0)=2(+1)>O.h*(11)=2(-e*).当CjtIIsJ.'(x)F=2c1(cosx-SinX).故.当Xe用时，h'(x)'=2cx(cosx-SinX)0.h'(x)递增：芍Xe->jr,'t=2cx(cosx-SinX)<0.h'(x)递俄：此时，h,(x)>min(,(0).h,(r)-h*(r)三2(-e*)0,h(x)=g'(x)在0,川上单圜递增，h(x)g'(x)>g'(0)=1.>0.符合条件.里a"时，H,当Xw词时,h'(x)递增：当Xm时.八'(外递减：Vh'(；)>,(0)=2(a+1.)>0.h,(11)=2(a-c11)<0.二由连续函数0点存在性定理及项调性知，3x0g.11).h,(x0)=0.于是,当xw,xo)时，'(x)>0,(x)=g'(x)尔园递增：当Xe(XOH时,h,(x)<0,A(X)=g'(x)单网递减.V(0)=1>0.(;T)=-cx+2a11>0.g,(x)=h(x)>minh(O),h(r)0.符合条件.琮上,实数a的收fft范围是S+8)方法二，(参变分离)由对称性，不妨设OSXt<孙S"，则+a>。即为f(x2)+ax卡>Ax.)+ax；.设g(x)=/(x)+ax2.则g(x)在|0.可上单调递增，故g'(x)=c*(sinx+COSX)+2ax。在0,n上恒成立.V(0)=1>0,.,g'(x)=e*(situ+COSX)+Zax0在0,可上恒成立。-2QyT?Vxe(On设MX)=砥叱"。叫x(0,n1.,则V(X)='ScoM。叫xe(0,111.设W(X)=2x-tanx-1,xe(,j)(j,11.蜘5=2-表,x(00U(M1.,(x)>O.Xe(OW)Ue.n.得MX)在(0,：).(g，T上单调递增：hXx)<O,x(,)u(三,jr.Wv(x)tf(三t),你舅上单调递减.故XC(oj)时s(x)WWe)=W-2<O:CeH时(X)(?)=>°-从而，(x)cosx=2xcosx-sinx-cosx<0.x(0,)U(p乂X=B时.2xcosxsinx-cost=1<0.故八'(x)=<“伊<0.e(0,11.(x)=,1.1.t-totx,X6(O,jt小W1.送，h(x)mn=h(r)=-7»XW(OM于是，-2-a综上，实数的取位范围是+8).2. (2022四川四三阶段缥习(理)已知函数f(x)=1.nx-2三+2,(1)求/«)极大值:(2)若X1.+co),ex-cx+Af(x)(Hft成立，求K的取值范围.【解四出路】(I)对函数求导.根据导函数的正负确定函数的单调性，进而求出圉致的极大值；(2)先对函数求V,确定不等式成立的必娈条件，再进步证明不等式成立的充分性即可褥证.【解答过程】(I)r=j-=i5r.x(0,1.),(x)>0."x)单调递减.Xe(1,+8)/(X)<o./(*)单4递减,所以“X)极大(ft为”1)=0.<2)g(x)=cx-ex+(x)=cx-ex+c(1.nx-2x+2),g(1.)=0."=铲-e+G-，g'=0g"(x)=c*+k信+±)"=c-*若g"(D=c-5k<O,由函数连续性.3a>0.mxe(1.,),j11(x)<0.所以g'(x)的调递减g'(x)V/(1)«0.所以g(x)单调递减5(x)<5(1.)=0.与题意矛盾所以g"(0)=c-fc0.UJ2e是命题"1.,+).ex-cr+k(nx-2x+2)(Hn成也的必要条件.下面证明:k<2e足命胭“xG(1,+8)d-cx+k(1.nx-2x+2)>O恒成立”的充分条件即只需要讨明F当2c,Xe1.,+)不等式CX-ex+fc(inx-2x+2)O恒成立设M")=(IiU-2J+2)*+et-ex,由(D问InX-24+250,所以八伏)在&W(-8,ZeJ上单调递减,1.()min=(2c)=(Inx-2yT+2)2c+c*-ex,记t(x)=C1.-CX+2c0nx2v,x+2),t(1.)=0.t'(x)=e*-e+2e&-ex-c+2eC=e-+2e(D=N0.所以Xe1.,+8)()单调递增.f(x)>t(1.)=0.嫁上4(->,2e.3. (2022江苏商三阶段练习)已知a>0,函数f(x)=(a-X)InX.证明f存在唯一极大值点;(2)若存在a,使得f(x)a+b对任意X6(0,+8)成立，求b的取值范围.【解阳思路】(I)求导f'(x)=Tnx+(-1.,x>O,再对广(外求好,判断其单调性.然后结合零点存在性定理进而可知f'(x)=。仃唯一零点，结合极值点定义可证得结论：(2)题目转化为x)-amaSb,构造U(X)=XIn2-x-*1.nx,x>0,利用导数研究函效的率调性,求其最值即可得解.【解答过程】(I)rf1(x)=(a-x)1.nx.求导/，(*)=Tnx+(a-x)：=TnX+?-1.,x>0,令S(X)=Tm+?-1,x>0.则。'(幻=一：一=一詈Xa>O.5'()<O.f,(xyfy-6(0,+8)：单词递减.当X=c-1Bt.f,(x)=言>0.当X=Ca时.f'ca)=-a+-1.=a-1.-1.<0.故存在心(eT.ca).使科(%)=O当X(0,xo),(x)>0,故函数f(x)在(0,Xo)上单调递堵.当Xe(Xo,+8),()<0,故函数/(*)在(Xa+8)上单调递减.所以f(x)存在唯极大值点；<2)IhSXf1.存在a>0.使得f(x)Sa+b对任意Xe(O,+8)成立，BP存在a>O.使知b>If(X)-attx对任意X(0,+8)成立，由(1)如，/(x)max=/(*o)R-InO+-1=0.1.!a=x0(1.+11*o)*。/(X)-am4x=/(x0)-a=x0(1.+InXI)-x0InXO-x0(1.+Inx0),即存在a>0,使得bx01.n2x0-x0-X(J1.nXo)XG>O恒成立.构造U(X)=X1.n'-xx1.nx,x>O.BP存在。>0.使科bu(x)恒成立,即存在>O.bU(X)Inm对任意X(0,+8)恒成立.求导u'(x)=1.n2x+Inx-2,X>O令u'(x)=0.求得InXI=-2.Inx2=1(即占=c2.x2=c当X(0fe-2),u,(x)>0,故函数U(X)在(0,e-2)上单调递埒，当*-u,(x)<0,故函数MJO在(e"1e)上单调递减,当Xe(C,+8),()>o.故函数Ua)在(c,+8)上单网递增.所以u(x)mi1.,=u(e)=c1.n2e-c-cine=-c<0.由XG(0,e)时,u(x)=X(1.n2x-InX-I)=XKInX-0-j,因为X(0,c2).所以InX<-2,即(InXW1.u()>。在Xe(0,厂2)上恒成立，所以b的取值范围是b-c.4. (2022,河北模拟预测)Q1.(x)=cx+In4;-3,jj(x)=<(x)+1.n+2(0).(1)当a=1.时.求g(x)的单调性:(2)若f(x)恒大于0.求的取值范用.【解题思路】(1)将=1.代入，先求函数的定义域.再化简陶数，求守函数，根据甘南数的符号得到因数的单调性：<2)先求函数的定义域,将函数八乃恒大于0转化为不等式e*+n+x+1.n>e,n<*+9>+In(X+3)恒成立,构造函数y=c*+X,根据单诩性格像不等人转化为Ina>1.n(x+3)-x.求函数h(x)=In(X+3)-X的鼓大值，解得。的取值素闱.【解答过程】(I)当a=I时.g(x)=1.+1.nW-3+1.n詈+2=c*-In(X+3)-3+In(X+3)-x+2=cx-x-1(x>-3).(x)=cx-1.,则当*6(-3,0)时,g'(x)<0.g(x)单调递破.当Xe(O,+8)时,/()>0,g(x)唯调递堵，所以当a=1.时，9x)的值调城区间为(-3,0),单调增区间为(0,+8)：<2)要使g(x)=/(X)+In燮有就义,则X>-3,且>0.f(x)恒大于O.UPacjf+1.n-i-3>Otg成立.则1."m+Ina>In(X+3)+3.11ftcx+1.na+x+Ina>1.n(x+3)+x+3=CIna仃)+g(x+3).囚为函数y=。*+*为增函数所以万十足。：>加(+3)即加4：>1!1(*+3)-1：.令MX)=1.n(x+3)-x(x>-3).MftrW=-k-1=z当e(-3,-2)时，*(x)>o,Mx)单调递增.当Xe(-2,+)Hr.1.(x)<O.A(x)单调递减.Mx)的最大值为h(-2)=2,可得Ina>2,则>d.所以a的取值范用是I,+8).5. (2022江苏二期末)已知函数"x)=InX-Ox-g*3,(aeR)(1)若曲线y="x)在点(1.fa)处的切纹经过点(3彳)，求的值；(2)当X>O时，f(x)<O恒成立，求”的取值范围.【解题思路】(I)求出尸口),根据已如可得A=f'(1.),乂k=咨二管.即可解出(2)不等式可化为>者-g2对x>0恒成立.设g(x)=号-；工.>o,则只需>g
