四川省郫县第一中学立体几何多选题试题含答案.docx

四川省郸县第一中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1.如图，在直三棱柱ABCA4G中，AC=BC=AA1=2,NACB=90。，D,E,F分别为AC,AA1,48的中点.则下列结论正确的是（）A.AG与EF相交B.Bc/平面DEFC.EF与AG所成的角为90。D.点用到平面DEF的距离为逆2【答案】BCD【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断.【详解】对选项A,由图知4Cu平面ACClA1，所I平面ACGA=E，且EWAG.由异面直线的定义可知AG与EF异面，故A错误；对于选项B,在直三棱柱ABCG中，c/BC.QD,F分别是4C,48的中点，.FDBC,.S/FD.又BG平面DEF,力厂U平面DEFf4G平面OEF.故B正确；对于选项C,由题意，建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,O),A(2,0,O),8(0,2,O),A,(2,0,2),Bl(0,2,2),C1(O,O,2),0(1,0,O),E(2,0,I),F(l,1,O).EF=(-1,1,-1),ACi=(-2,0,2).EFAC1=2+0-2=0,EFIAC1,/.EF±AC1.EF与AG所成的角为90。，故C正确；对于选项D,设向量万=(X,y,Z)是平面DEF的一个法向量.DE=(1,0,D,DF=(0,1,0),n±DEfnDE=0f,fx+z=O,由，即1,得人n±DFf7DF=0,Iy=0.取X=1,则z=-l,.=(1.,-1),设点B1到平面DEF的距离为d.又.E>R=(-1,2,2),阿M-l÷0-232同22点到平面。EF的距离为述，故D正确.2故选：BCD【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题.2.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点七、尸分别在边A3、BC上(不含端点)且BE=BF，将AAED,AOC尸分别沿OE,OF折起，使A、C两点重合于点A,则下列结论正确的有().A.A1D1.EFB.当8E=3"C时，三棱锥A。防的外接球体积为倔iC.当BE=B/=,8。时，三棱锥A-OE尸的体积为2叵43D.当BE=B尸=1BC时，点A到平面£>EF的距离为生叵47【答案】ACD【分析】A选项：证明A。，面AE/，得B选项：当BE=BF=；BC=2时,三棱锥A1-£尸。的三条侧棱ADAE,人尸两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥A-EFD的外接球体积；C选项：利用等体积法求三棱锥A-ETO的体积；D选项：利用等体积法求出点4到平面DE尸的距离.【详解】A选项：'正方形ABCD.ADlAEtDCJlFC由折叠的性质可知：AlDlAiEfAiDlAlF又：AECAR=A.AoJ_面AET7又EFuiEAEF,.A1D-1.EF；故A正确.B选项：当BE=BF=BC=2时,AE=AF=2,EF=26在AAEF中，A1E2+1F2=EF2,则AE_1.AF由A选项可知，A。_1.A七，4。"1.A/.三棱锥A-EFD的三条侧棱A。,AEAF两两相互垂直，把三棱锥A-EU>放置在长方体中，可得长方体的对角线长为522+2?+42=2"，三棱锥A-EFD的外接球半径为胡，体积为4内=g"（、/了=8后,故B错误C选项：当BE=BF=；BC=I时,AE=AF=3,EF=近cosZEAiF=AiE2+A,F2-EF221E1F32÷32-(2)&2x3x3-99sinZEAiF=7_7-9-zzICm111.27VEFD=VD_AEf=3'SAlEFX4=故C正确;D选项：设点A到平面EFo的距离为力，则cosZEDF=DE2+DF2-EF22DEDF52+52-(2)24255-257SinZEDF=-25则S.以=-DEDFsinZEDF=-×5×5×-=-22252t-EFD=SDEFf2工1.h=亚0llf417即h=7故D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.3.已知正方体A3COA4GA的棱长为2,点E，尸在平面AqaA内，若IAEl=逐，AC1.DF,则()A.点E的轨迹是一个圆B.点尸的轨迹是一个圆C.怛尸|的最小值为忘1D.AE与平面ABD所成角的正弦值的最大值为2岳+而15【答案】ACD【分析】对于A、B、C、D四个选项，需要对各个选项一一验证.选项A：由IAEI=JAV+42=5得IAEI=1，分析得E的轨迹为圆；选项B：由AC_1。8尸，而点F在BQl上，即F的轨迹为线段与A，；选项C:由E的轨迹为圆，F的轨迹为线段用。可分析得E7mm=d-h选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.【详解】对于A：IAEI=JA4/+a2=5三p2+1E2=5»所以IAEl=1,即点E为在面AqGA内，以A为圆心、半径为1的圆上；故A正确；对于B:正方体ABCO-44。Ql中，AC±BDf又AC_1.DF,且BDcDF=D,所以AC±DBF,所以点F在801上，即F的轨迹为线段MA，故B错误；对于C：在平面AqGA内，A到直线4A的距离为d=当点E，尸落在AG上时，IEF1.in=3-1；故C正确；对于D:建立如图示的坐标系，则A(O,O,O),3(2,O,O),A(O,O,2),D(O,2,O)nBD=-2x+2y=OtvAB=2x-2z=O因为点E为在面AqGA内，以A为圆心、半径为1的圆上，可设E(COSe,sina2)所以AE=(CoSaSina2),1B=(2,0,2),50=(2,2,0),设平面A1BO的法向量=(x,y,z),则有,不妨令x=l,则=(U,1),设AE与平面ABD所成角为,则:/nAEsina=cos(，AE)=/n×AEICOSe+sin9+215×3sin(e+(J+215当且仅当啖时,2÷2215+30sina有最大值1.=-1515故D正确故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证.4.如图所示，正三角形48C中，D,E分别为边46,AC的中点，其中48=8,把ADE沿着OE翻折至4DE位置，使得二面角4DE-8为60。，则下列选项中正确的是（）A.点W到平面8CED的距离为3B.直线WD与直线CE所成的角的余弦值为I8C.AlD±BDD.四棱锥&-8CED的外接球半径为2巨3【答案】ABD【分析】作AM±DE,交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AM利用线面垂直的判定定理判定CD_1.平面AMN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到A'到平面面BCED的高A”,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得4”的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到NA1DN就是直线AD与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A1-BCED的外接球的球心为。,则ONJ_平面BCEDfROA=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示，作AM_1.DE,交DE于M,延长AM交8C于M连接AM,AM则AM_1.DEMNJ_DE,/A'MCMN=M,.CD_1.平面AMN,又.COU平面ABDC,:.平面AMNJ_平面ABDCt在平面A1MN中作AHj1.MN,则AH，平面BCED,.二面角A-DE-B为60°,：.AA'EF=60o,正三角形48C中，A8=8,.AN=4近,AM=20,.4H=AMSin60°=3,故A正确;连接DM易得DNECQN=EC=A,NADN就是直线AD与CE所成的角，DN=DAMAN=AW=2542+42-125cos/A'DN=/,故8正确；2×4×48A'D=DB=4fA'B=AN2+BN2=12+16=27，A!D1+DB1A,B2,AD与BD不垂直，故C错误易得NB=NC=ND=NG=4,：.N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，设四棱锥A-8CED的外接球的球心为。,则ONJ_平面8CED,且OA=Oc若。在平面BeED上方，入图所示：设0N=x,外接球的半径为R,过0作A1H的垂线，垂足为P,则HP=X,易得42+/=(3-力2+(6二配,解得工=一|,舍去；故。在平面8CED下方，如图所示：设ON=X,外接球的半径为R,过。作A1H的垂线，垂足为Pt则HP=Xt易得4?+f=(3+x)2+=r2,解得X=,.R2=16+3=,.R=,故D正确.993故选*8D.M2【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.5.在正方体ABCo-AqGA中，M、N分别是棱A3、CG的中点，.MBf的顶点?在棱CG与棱GA上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（）A.平面M4P"1.NRB.平面MqPj_平面NAAC. MgP在底面ABCD上的射影图形的面积为定值D. 3Mqp在侧面AeCO上射影图形是三角形【答案】BC【分析】取N与P重合，结合勾股定理可判断A选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B选项的正误；分点?在棱Ca、GA上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C选项的正误；取点P与点C1重合，判断aM8P在侧面。GC。上射影图形形状，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，设正方体ABC。一A4GA的棱长为2,如下图所示：当点尸与点N重合时，若NAJ.平面MgP,用NU平面MqP,则Nn_1.8N,由勾股定理可得AN=JGN2+<£>；=下,同理可得与N=6，B1D1=22,/.B1V2+D1TV2B1D12,则NQl与鸟N不垂直，假设不成立，A选项错误；对于B选项，取的中点£,连接AE、EN,在正方体48COABCQl中，BB1/CC1,且后、N分别为、CG的中点，则BE"CN且BlE=CIN,所以，四边形与ENG为平行四边形，则ENB£且EN=BG,.AR"BlCl且ADl=BICI,所以,ADI/EN且ADI=EN,所以，四边形AENA为平行四边形，所以，AElRN,.ABi=BB,BlE=BM,/4用后二N&=90,所以，Rt4