热点7-2椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点72椭圆及其应用椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。题型6椭圆的中点弦问题题型5求椭圆的离心率与范围题型3椭圆标准方程的求解题型4椭圆的焦点三角形问题题型7直线与椭圆相交弦长求解题型8直线与椭圆综合问题【题型1椭圆的定义及概念辨析】满分技巧在椭圆的定义中条件%归图O不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则：当2=花用时，其轨迹为线段匕8；当2归马时，其轨迹不存在.例1（2021高二课时练习）已知尸一丹是两个定点，且I耳段=2（。是正常数），动点尸满足附|+|尸闾=+,则动点。的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.直线【答案】C【解析】因为M+L20（当且仅当。=1时，等号成立），所以I叼+IWEI,当O且。工1时，IP用+P6W6,此时动点。的轨迹是椭圆；当时，IP用+1PBi=I耳61,此时动点。的轨迹是线段耳巴.故选：C22【变式1-1】（2023贵州黔东南高三校考阶段练习）已知点A,8是椭圆：=l上关于原点对称的94两点，K分别是椭圆C的左、右焦点，若IA娟=2,则囱I=（）A.1B.2C.4D.5川【答案】C-【解析】因为IoAI=1。回,|。GI=I。入I,乙Y所以四边形4£8乃是平行四边形.所以IBF1I=IAF21.由椭圆的定义得IA5I=2x3-IMK6-2=4.所以忸制二4.故选：C【变式12】(2023.陕西西安.校考三模)已知椭圆u+f=l的两焦点为K,F2P为椭圆C上一点且PKJ.%,贝JllmITP玛Il=()A.25B.43C.219D.38【答案】B【解析】设冏|=4啊=.因为椭圆C：!+9印的两焦点为F-kP为椭圆C上一点且2，所以n+n=4正62+n2=64,所以m+n=4>/5fImn16所以比卜I啕卜他-)2=而;)2-4nm=J(45)2-32=46故选：B【变式1-3】(2023江西南昌高三南昌市第三中学校考阶段练习)一动圆M与圆M:(x+l+y2=1外切,与圆“2：(工-1)2+)3=9内切，则动圆圆心M点的轨迹方程为(a4=-B.+-=l(x±2)43v,cS÷=1D,+-=l(x-2)43v7【答案】D【解析】由题意可知：圆M：a+l+y2=i的圆心M(To),半径r=1;圆2：5-1)2+丁=9的圆心Mz(LO),半径4=3；因为IMW2=2=今-,可知圆”与圆内切于点A(-2,0),显然圆心M不能与点A(-2,0)重合，设圆M的半径为彳,由题意可知：MMl=4+1IllIIIMM,=3F,则IMMl+M%=4>m%,可知点M的轨迹是以M,%为焦点的椭圆(点A除外),且=2,c=l,可得从=Ja2-c2=G,所以M点的轨迹方程为+f=l(x-2).故选：D.【变式1-4（2023.全国高三专题练习）点M在椭圆奈±1上，片是椭圆的左焦，N是ME中点，且ON长度是4,则Mf；的长度是.【答案】2【解析】设椭圆右焦点为外，连接MKyt由已矢口但O1-25!Ba-5M_导，O为坐标原点，因为N是MK中点，。为片鸟的中点，.M周二2ON=8,2j2再根据椭圆定义得IM国二为TgI=IO-8=2【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住IPFIl与IPBl之和为定值，可联系到利用基本不等式求IPQHPF2的最值；（2）利用定义IPal+IPBl=2a转化或变形，借助三角形性质求最值【例2】（2023.江西抚州高三乐安县第二中学校考期中）已知F是椭圆5+1的左1F点,若A（Ll）,则附+PFI的最小值为（）装点，是椭圆上A.6-3B.6-f5C.()-JlD.6-6【答案】C22二说Lffil7TJWBlsl-+-1,<Jrt-3,。-0,C=6Z-b=2,如图，设椭圆的右焦点为尸（2,0）,则IPbl+1尸尸'=2=6;PA+PF=PA-¥6-PF,=6+PA-PF'由图形知，当P在直线Ar（与椭圆的交点）上时，Il%TPFII=IA尸I=应,当不在直线AT（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，IIPAI-IPriwArI=2;当尸在FA的延长线（与椭圆的交点）上时，10川-1刊7'1取得最小值-忘,PA+P"的最小值为6_&.故选：C.【变式21】（2023.江苏南通统考三模）已知b为椭圆C:£+丁=的右焦点，尸为C上一点，Q为圆历：4Y+（y_3二1上一点，则I尸Q+W的最大值为（）A.5B.6C.4+23D.5÷23【答案】D【解析】依题意"2=I,c=6,设椭圆C的左焦点为川-30）,圆+（y-3）2=l的圆心为M（0,3）f半径为1,|叫+|耳=IPa+2-归周=4+|国-归用44+|0£|,当P,9Q三点共线，且Fl在P,Q之间时等号成立.而IQ用MK+1=小瓦77+1=2+1,所以P0+P尸<4+25+l=5+2>A,当P,6M,Q四点共线，且K在P,。之间，Q是GV的延长线与圆也的交点时等号成立.故选：D【变式2-2（2023全国高二课时练习）已知点P为椭圆1+卫=1上任意一点,点M、N分别为43（1-1）2+2=1和（.丫+1）2+2=1上的点，则归M+PN的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】设圆1）2+y2=l和圆*+1）2+y2=l的圆心分别为A8,半径分别为大&.则椭圆（+1=1的焦点为A（TO）1（1,0）.43¾÷iPJP+PjV,4+P=2t7=4,故IPM+wf+俨用+6+4f当且仅当M,N分别在PA,PB的延长线上时取等号.此时I尸M+PN最大值为IE4|+|冏+彳+弓=4+1+1=6故选：C【变式23】（2022.全国高三校联考阶段练习）设K,6分别是椭圆/（=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点。的坐标为（TI）,则PQ+P间的取值范围为（）A.2,6B.2,yC.6-2应,6+2D.6-i,6+l【答案】D【解析】根据椭圆的定义可得，p4+p闾=勿=6,则1图+归制=IPaTP用+6,因为黑图PQ11P段Q用,则当P,Q,入三点共线时，取值最大或最小.由已知得，=3,C满分技巧1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1 )定位：确定焦点在那个坐标轴上；(2 )定量：依据条件及/ =炉+c?确定。,仇C的值；(3 )写出标准方程；22、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为+ = l(w>0,n>0nn); m n3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2 + By2 =1(>O,B>0,且A B),将点的坐标代入,解方 程组求得系数。=a2-b2=4,c=2l7%(2,0),=10.当P点位于图中匕时，根据三角形三边关系取值最大.P+P耳I=IPaTPK+6Q用+6=闻+6.当尸点位于图中6时，根据三角形三边关系取值最大.P+IpKl=IPT%+6TQ段+6=-iU+6.故答案为：6-Ji6,6+M.【变式2-4】(2023河北唐山开滦第二中学校考一模)已知椭圆C：I+=1的左、右焦点分别为耳,巴，1612点尸在椭圆C上,且。(1，3),则pq+p段的最大值为.【答案】8+3海/30+8【解析】由椭圆方程可得=4,c=2,则爪-2,0),如图，连接。4并延长,交椭圆于P.则P-+P闻=P+20-附卜8+(P11PK)8+以I,(当且仅当点Q,0P三点共线时，且点尸位于第三象限时取等号)此时IP。+1P图取最大值为8+7(I+2)2+(3-0)2=8÷32.【题型3椭圆标准方程的求解】_V2v24例3（2022湖北十堰高三统考期末）已知曲线C:J+R=l,则“"0”是"曲线C是椭圆”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C4a>0【解析】若曲线C是椭圆，则有：3«+2>0解得：。>0,且"24a3a+2故，七>0，是“曲线C是椭圆，的必要不充分条件故选：C【变式3-1（2023云南昆明高三校考阶段练习）已知方程上一-二=1表示焦点在V轴上的椭圆，则5+2m2m-1实数，的取值范围是（）【答案】A【解析】方程?=-J7=I表示焦点在）'轴上的椭圆,5+2/772/77-1则一（2加-l）>5+2m>0,解彳导一T<m<,故实数机的取值范围是卜IT.故选：A.【变式32】（2023.黑龙江佳木斯.高三校考开学考试）已知直线力-2），-6=。经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A v VA .+ J =94n 421B .+ y- =9c4÷1【答案】C【解析】令X=O,可得尸一3;令y=0,可得x=2则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为（0,-3）,（2,0）.因为卜3|>2,所以椭圆的焦点在y轴上.22设椭圆的方程为卞"+*=1,则=3,b=2,所以椭圆的方程为黄%L故选：C【变式33】（2022广西桂林高三校考阶段练习）已知椭圆E:Jl（"b>O）右焦点为（I）,其上下顶点分别为G,C22A.+=134【答案】D2,点A。，。），ACi±AC；l则该椭圆的标准方程为（）B.+Z=c"+£=iD.+/4333,【解析】根据题意可知，G(OM,G(0,-b)；所以AG=(T,6),AC2=(-,-b)l又AG_LAG,所以AG.AG=I=O,可得从=1在椭圆中，C=,又"=十°2,所以4=3即椭圆的标准方程为1+丁=L故选：D.【变式3-4(2023全国校联考模拟预测)已知椭圆E,+=Ka>b>O)的左顶点为A,上顶点为B,左、右焦点分别为"，K,延长打;交椭圆E于点P.若点A到直线班;的距离为增，APZK的周长为16,则椭圆E的标准方程为()772222aX-y.dX-v1Cx-V-InX-y1A.77+t7=1B