第12章 计数原理与概率统计.docx

第十二章计数原理与概率统计第一节两个基本计数原理、排列组合1.（2023全国甲卷理科9）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【解析】不妨记五名志愿者为,"c,d,e,假设。连续参加了两天社区服务，再从轲余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A：=12种方法，同理："c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.故选B.2 .（2023全国乙卷理科7）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C120种D.240种【解析】甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤：先从6种课外读物中选择一本作为甲、乙两人共同的选择，再从剩下的5本中选择互不相同的两本，所以符合题意的选法共有C；C；Ct=I20（种）.故选C3 .（2023新高考I卷13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一种（用数字作答）.【解析】如果选修2门，共有C>C=16种；如果选修3门，共有C：C：+CIC：=48种.所以不同的选课方案共有16+48=64种.4 .（2023新高考H卷3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A4515触Rp20p40釉3030釉p¼4020触z400v,2仃VMOOJoOTTjv*400x20口v400v,200b【解析】按初中部和高中部学生人数比例分层抽样可知，从高中部抽40人，初中部抽20人，分步完成.由乘法原理得不同的抽样有C<C鼠.故选D.第二节二项式定理1. （2023北京卷5）的展开式中，”的系数是（）A.-40B.40C.-80D.80【分析】写出（2x-g）的展开式的通项即可.【解析】；2x-l展开式的通项为7；M=G（2x）sT）=（-l）r25-fq-2r令5-2r=l得r=2.所以（2x-的展开式中X的系数为（一if25-2Cs=80.故选D.【评注】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.2. （2023天津卷11）在（2V-g）的展开式中，/项的系数为.【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式（=（-y×26-i×c>x,8-4jt,令18-4&=2确定左的值，然后计算/项的系数即可【解析】展开式的通项公式小=C（23）6"H=（-1）a×26-a×C*×x,8-4令1842=2可得，Z=4,则/项的系数为（7）426-4C=4xl5=60.故答案为60.第三节随机事件的概率及其计算3. （2023北京卷18）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”：即当天价格比前一天价格高，用"一"表示"下跌”，即当天价格比前一天价格低；用"O"表示"不变”，即当天价格与前一天价格相同.第1天到第20天+0+0+0+00+第21天到第40天0+0一+0+0+一一一+0+时段价格变化用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品在这4天中2天"上涨''、1天"下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格”上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)【分析】(1)计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；(2)分别计算出表格中上涨、不变、下跌的概率后进行计算：(3)通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【解析】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：=0.4.40(2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨、下跌、不变的概率分别是0.4,0.35,0.25,于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C;×0.42×Ci2×0.35×0.25=0.168.(3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.4.(2023全国甲卷理科6)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.【解析】报名两个俱乐部的人数为50+6070=40,记“某人报足球俱乐部”事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件8,则尸（八）=竺=一，P（AB）=-=-,v （2023全国乙卷文科9）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽 取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）707v77074所以P（M=需k=0.87故选A.5.（2023全国甲卷文科4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）1 - 6A.1* - 3B.2 - 3D.【分析】利用古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解.【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C：=6件,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；G=4,所以这2名学生来自不同年级的概率为一=£.63故选D.6.（2023全国乙卷理科5,文科7）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域（xty）2+y24内随机取一点，记该点为4,则直线04的倾斜角不大于色的概率为A.1 - 6B.【解析】如图所示，当4在阴影区域时，直线04的斜率不大于工，P=-.44【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意的情况，即可得到概率.【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6x6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A：=30种，则其概率为3二士.故选A.3668.(2023新高考11卷12)在信道内传输0,1信号，信号的传榆相互独立，发送0时，收到1的概率为(0<<l),收到O的概率为la；发送1时，收到O的概率为夕(OV£<1),收到1的概率为1-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送一次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传揄时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译妈.(例如，若依次收到1,0,1,则译妈为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1一0(1-夕)2B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为夕(I/?)?C采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为4(1一)2+(1-/)3D.当OVaV0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为O的概率大于采用单次传榆方案译码为O的概率【解析】A选项：p=(i-7)(i-a)(i-)=(i-)(i-7)2,A正确；B选项：P二(I一0)外一0)二0(1一行,B正确；C选项：P=(l-7)3+C(l-7)2=37(l-)2+(l-Z7)3,C不正确；D选项：采用三次传输方案译码为O的概率=(l-a)3+C3a(l-a)2,采用一次传输方案译码为O的概率Q=Px-P2=(-a"f+C3a(-a-(-a)=(l-)(l-+3(l-a)-l=(l-)l-2+a2+3a-3a2-l=(l-z)(-2a2+a)=-(l-a)(26r-l)=(a-l)(2-l)当OVaVo.5时，Px-P2>,即D正确.综上，故选ABD.9.(2023天津卷13)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为:将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空:根据古典概型的概率公式可求出第二个空.【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6，所以总数为15”，所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2/?,白球个数为3:乙盒中黑球个数为25%x4z=n,白球个数为3；丙盒中黑球个数为50%x6=3%白球个数为3；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以P（八）=0.4×0.25×0.5=0.05；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件8,Qn3黑球总共有2+3=6个，白球共有9个，所以尸(8)二W一二j.3故答案为0.05;5第四节随机变量及其分布1.(2023新高考I卷21)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由柚签确定第1次投篮的人选.第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率：(2)求第i次投篮的人是甲的概率：已知：若随机变量Xj服从两点分布，且P(Xj=I)=I-P(Xj=O)=0,i=l,2,，(nn则EZXi=Zl.记前次(即从第I次到第次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(y)Ii=IJ/=1【解析】(1)P(乙)二P(甲乙)+P(乙乙)=gxO.4+gxO.8=O6(2)第i次是乙投的概率为1p,且Pi+=Pi×0.6+(1-JPi)X0.2=0.2+0.4pr,故Pi-1÷1-1I ,N(3)解法一: M.IBt,E(Y) = Zp,=i=l(tiT 1 1I 44-2$1tn 54=3 18n Z+ ,ne N3 =0 时，E(Y) = O = I1 O0 ÷-.3综上，E(K) = 101-n +,n e N.3解法二(利用期望递推)记前次投篮中甲投篮次数的数学期